大中小3個のサイコロを投げるとき、以下の各事象が起こる場合の数を求めます。 (1) 目がすべて異なる。 (2) 少なくとも2個が同じ目。 (3) 目の積が3の倍数。 (4) 目の和が奇数。

1. 問題の内容

大中小3個のサイコロを投げるとき、以下の各事象が起こる場合の数を求めます。

(1) 目がすべて異なる。

(2) 少なくとも2個が同じ目。

(3) 目の積が3の倍数。

(4) 目の和が奇数。

2. 解き方の手順

(1) 目がすべて異なる場合

大中小のサイコロの目の出方はそれぞれ6通りあります。

まず、大のサイコロの目は6通りです。

中のサイコロの目は大のサイコロの目と異なる必要があるので、5通りです。

小のサイコロの目は大と中のサイコロの目と異なる必要があるので、4通りです。

したがって、目の出方は $6 \times 5 \times 4 = 120$ 通りです。

(2) 少なくとも2個が同じ目の場合

すべての目の出方は $6 \times 6 \times 6 = 216$ 通りです。

目がすべて異なる場合は(1)より120通りです。

したがって、少なくとも2個が同じ目の場合は、$216 - 120 = 96$ 通りです。

(3) 目の積が3の倍数の場合

目の積が3の倍数にならないのは、3つのサイコロの目がすべて3の倍数でない場合です。3の倍数でない目は1, 2, 4, 5の4種類あります。

したがって、3つとも3の倍数でない場合は $4 \times 4 \times 4 = 64$ 通りです。

すべての目の出方は $6 \times 6 \times 6 = 216$ 通りなので、目の積が3の倍数になるのは、$216 - 64 = 152$ 通りです。

(4) 目の和が奇数の場合

目の和が奇数になるのは、

(i) 3つとも奇数

(ii) 奇数1つ、偶数2つ

の場合です。

(i) 3つとも奇数の場合、目の出方は $3 \times 3 \times 3 = 27$ 通りです。

(ii) 奇数1つ、偶数2つの場合、奇数のサイコロの位置は3通りあります。奇数の目は3通り、偶数の目は3通りなので、目の出方は $3 \times (3 \times 3 \times 3) = 3 \times 27 = 81$ 通りです。

したがって、目の和が奇数になるのは、$27 + 81 = 108$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 96通り

(3) 152通り

(4) 108通り