9本のくじがあり、そのうち3本が当たりくじである。このくじから同時に2本引くとき、少なくとも1本が当たりくじである確率が $\frac{a}{12}$ で表される。このとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

9本のくじがあり、そのうち3本が当たりくじである。このくじから同時に2本引くとき、少なくとも1本が当たりくじである確率が $\frac{a}{12}$ で表される。このとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

少なくとも1本が当たる確率を直接求めるか、または余事象の確率（2本とも外れる確率）を求めて、1から引くことで求めることができる。ここでは、余事象の確率から求める方法で解く。

まず、9本のくじから2本引く場合の総数を求める。これは組み合わせで計算でき、$_{9}C_{2}$ と表される。

$_{9}C_{2} = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

次に、2本とも外れる確率を求める。外れくじは 9 - 3 = 6 本あるので、6本の外れくじから2本引く場合の数を求める。これは $_{6}C_{2}$ と表される。

$_{6}C_{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

したがって、2本とも外れる確率は $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ である。

少なくとも1本が当たる確率は、1から2本とも外れる確率を引くことで求められる。

$1 - \frac{5}{12} = \frac{12}{12} - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$

問題文より、少なくとも1本が当たる確率は $\frac{a}{12}$ であるから、$\frac{a}{12} = \frac{7}{12}$ となる。したがって、$a = 7$。

3. 最終的な答え

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