床と斜面がつながっている。床のAB間は粗く、他は滑らかである。ばね定数$k$のばねに質量$m$の物体を押し当てて縮めた。AB間の動摩擦係数を$\mu'$、距離を$S$、重力加速度を$g$とする。 (1) ばねを解放したとき、物体が点Aに達する直前の速さ$v_A$を求めよ。 (2) 物体は点Bを通過後、斜面を上り、最高点Cに達した。Cの床からの高さ$h$を求めよ。

1. 問題の内容

床と斜面がつながっている。床のAB間は粗く、他は滑らかである。ばね定数$k$のばねに質量$m$の物体を押し当てて縮めた。AB間の動摩擦係数を$\mu'$、距離を$S$、重力加速度を$g$とする。

(1) ばねを解放したとき、物体が点Aに達する直前の速さ$v_A$を求めよ。

(2) 物体は点Bを通過後、斜面を上り、最高点Cに達した。Cの床からの高さ$h$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

ばねの縮みを$l$とする。ばねの弾性エネルギーは$\frac{1}{2}kl^2$である。

AB間で摩擦力が物体にする仕事は$W = -\mu'mgS$である。

エネルギー保存の法則より、

$\frac{1}{2}kl^2 = \frac{1}{2}mv_A^2 + \mu'mgS$

$v_A$について解くと、

$\frac{1}{2}mv_A^2 = \frac{1}{2}kl^2 - \mu'mgS$

$v_A^2 = \frac{kl^2}{m} - 2\mu'gS$

$v_A = \sqrt{\frac{kl^2}{m} - 2\mu'gS}$

(2)

点Bから点Cまで力学的エネルギー保存の法則が成り立つ。点Bでの速さを$v_B$とすると、

$\frac{1}{2}mv_B^2 = \frac{1}{2}mv_A^2 - \mu'mgS$

$v_B^2 = v_A^2 - 2\mu'gS$

$v_B^2 = \frac{kl^2}{m} - 2\mu'gS - 2\mu'gS = \frac{kl^2}{m} - 4\mu'gS$

点Cでは速さが0なので、位置エネルギーは$mgh$である。

$\frac{1}{2}mv_B^2 = mgh$

$h = \frac{v_B^2}{2g}$

$h = \frac{kl^2}{2mg} - 2\mu'S$

3. 最終的な答え

(1) $v_A = \sqrt{\frac{kl^2}{m} - 2\mu'gS}$

(2) $h = \frac{kl^2}{2mg} - 2\mu'S$