セールスマンが家を訪問すると $\frac{1}{4}$ の確率で帽子を忘れる。帽子をかぶってA, B, Cの順に3つの家を訪問して帰宅したところ、帽子をどこかに忘れてきたことに気づいた。このとき、Aの家に帽子を忘れた確率を求めよ。

1. 問題の内容

セールスマンが家を訪問すると $\frac{1}{4}$ の確率で帽子を忘れる。帽子をかぶってA, B, Cの順に3つの家を訪問して帰宅したところ、帽子をどこかに忘れてきたことに気づいた。このとき、Aの家に帽子を忘れた確率を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は条件付き確率の問題です。セールスマンが帽子を忘れたという条件下で、Aの家に帽子を忘れた確率を求めます。

まず、A, B, Cのそれぞれの家で帽子を忘れる確率を考えます。

- Aの家で帽子を忘れる確率: $\frac{1}{4}$

- Bの家で帽子を忘れる確率: Aの家で帽子を忘れず、Bの家で帽子を忘れる確率なので、 $\frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$

- Cの家で帽子を忘れる確率: AとBの家で帽子を忘れず、Cの家で帽子を忘れる確率なので、 $\frac{3}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{9}{64}$

セールスマンが帽子を忘れてくる確率は、A, B, Cのいずれかの家で帽子を忘れてくる確率の和なので、

$P(\text{帽子を忘れる}) = \frac{1}{4} + \frac{3}{16} + \frac{9}{64} = \frac{16}{64} + \frac{12}{64} + \frac{9}{64} = \frac{37}{64}$

Aの家に帽子を忘れたという条件下で、帽子を忘れた確率は、条件付き確率の定義より、

$P(\text{Aに忘れる}|\text{帽子を忘れる}) = \frac{P(\text{Aに忘れる} \cap \text{帽子を忘れる})}{P(\text{帽子を忘れる})} = \frac{P(\text{Aに忘れる})}{P(\text{帽子を忘れる})}$

したがって、求める確率は、

$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{37}{64}} = \frac{1}{4} \times \frac{64}{37} = \frac{16}{37}$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{37}$