地球表面で周期2.0秒の振り子時計を月の表面に置いたときの周期を求める問題。ただし、地球と月の半径の比は11:3、質量の比は81:1とする。

## 問題の回答

### 問4

1. 問題の内容

地球表面で周期2.0秒の振り子時計を月の表面に置いたときの周期を求める問題。ただし、地球と月の半径の比は11:3、質量の比は81:1とする。

2. 解き方の手順

振り子の周期 $T$ は、その長さを $l$、重力加速度を $g$ とすると、

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

で表される。したがって、$T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$ となる。

地球の重力加速度を $g_E$、月の重力加速度を $g_M$ とすると、$g = \frac{GM}{R^2}$ （$G$:万有引力定数、$M$:質量、$R$:半径）であるから、

$\frac{g_M}{g_E} = \frac{M_M}{M_E} \cdot \frac{R_E^2}{R_M^2} = \frac{1}{81} \cdot \left(\frac{11}{3}\right)^2 = \frac{121}{729}$

したがって、月の表面での周期 $T_M$ は、地球表面での周期 $T_E$ を用いて、

$T_M = T_E \sqrt{\frac{g_E}{g_M}} = 2.0 \cdot \sqrt{\frac{729}{121}} = 2.0 \cdot \frac{27}{11} = \frac{54}{11} \approx 4.91$ (s)

3. 最終的な答え

月の表面での振り子時計の周期は約4.91秒。

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### 問5

1. 問題の内容

3.0秒で1往復する振り子時計の糸の長さを求める問題。ただし、重力加速度の大きさは9.8 m/s^2とする。

2. 解き方の手順

振り子の周期 $T$ は、$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

ここで、周期$T = 3.0$秒、重力加速度$g = 9.8 m/s^2$である。糸の長さ $l$ を求めると、

$T^2 = 4\pi^2 \frac{l}{g}$

$l = \frac{gT^2}{4\pi^2} = \frac{9.8 \times 3.0^2}{4 \times 3.1415^2} \approx \frac{9.8 \times 9.0}{4 \times 9.8696} \approx \frac{88.2}{39.4784} \approx 2.23$ (m)

3. 最終的な答え

振り子時計の糸の長さは約2.23メートル。