$x$軸上で、原点からの距離に比例する引力$-kx$（$k$は正の比例定数）を受け、角振動数$\omega_0 = \sqrt{k/m}$ で単振動する質量$m$の質点の運動を考える。この質点が、一定の角振動数$\omega$で時間とともに変化する外部からの強制力$F_0\cos(\omega t)$を受ける場合の運動方程式を書き下し、一般解が $$ x = A\sin(\omega_0 t + \phi) + \frac{F_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}\cos(\omega t) $$ で与えられることを、この解を運動方程式に代入することによって確かめる。ここで、$A$および$\phi$は初期条件によって定まる任意の定数である。

1. 問題の内容

$x$軸上で、原点からの距離に比例する引力$-kx$（$k$は正の比例定数）を受け、角振動数$\omega_0 = \sqrt{k/m}$ で単振動する質量$m$の質点の運動を考える。この質点が、一定の角振動数$\omega$で時間とともに変化する外部からの強制力$F_0\cos(\omega t)$を受ける場合の運動方程式を書き下し、一般解が

$$x = A\sin(\omega_0 t + \phi) + \frac{F_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}\cos(\omega t)$$

で与えられることを、この解を運動方程式に代入することによって確かめる。ここで、$A$および$\phi$は初期条件によって定まる任意の定数である。

2. 解き方の手順

(1) 運動方程式を立てる。質点に働く力は、引力$-kx$と強制力$F_0\cos(\omega t)$であるから、運動方程式は

$$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx + F_0\cos(\omega t)$$

となる。$\omega_0^2 = \frac{k}{m}$ を用いると、

$$m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = F_0\cos(\omega t)$$

$$\frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m}\cos(\omega t)$$

(2) 与えられた一般解

$$x = A\sin(\omega_0 t + \phi) + \frac{F_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}\cos(\omega t)$$

を運動方程式に代入して確かめる。まず、与えられた解を時間で2回微分する。

$$\frac{dx}{dt} = A\omega_0\cos(\omega_0 t + \phi) - \frac{F_0\omega}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}\sin(\omega t)$$

$$\frac{d^2x}{dt^2} = -A\omega_0^2\sin(\omega_0 t + \phi) - \frac{F_0\omega^2}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}\cos(\omega t)$$

これらを運動方程式に代入する。

\begin{align*}

\frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2 x &= -A\omega_0^2\sin(\omega_0 t + \phi) - \frac{F_0\omega^2}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}\cos(\omega t) + \omega_0^2\left(A\sin(\omega_0 t + \phi) + \frac{F_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}\cos(\omega t)\right) \\

&= -A\omega_0^2\sin(\omega_0 t + \phi) - \frac{F_0\omega^2}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}\cos(\omega t) + A\omega_0^2\sin(\omega_0 t + \phi) + \frac{F_0\omega_0^2}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}\cos(\omega t) \\

&= \frac{F_0(\omega_0^2 - \omega^2)}{m(\omega_0^2 - \omega^2)}\cos(\omega t) \\

&= \frac{F_0}{m}\cos(\omega t)

\end{align*}

したがって、与えられた解は運動方程式を満たしている。

3. 最終的な答え

運動方程式：

$$\frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2 x = \frac{F_0}{m}\cos(\omega t)$$

与えられた解を運動方程式に代入すると、運動方程式を満たすことが確認できた。