直径 $d_{AB} = 2d_{BC}$、長さ $2l$ の段付き円形断面軸があり、両端が固定されている。軸ABには単位長さあたり $\tau$ の等分布トルクが作用し、軸BCには単位長さあたり $-\tau$ の等分布トルクが作用する。A端面とC端面に生じるトルク $T_A$ と $T_C$ を求める。

1. 問題の内容

直径 $d_{AB} = 2d_{BC}$、長さ $2l$ の段付き円形断面軸があり、両端が固定されている。軸ABには単位長さあたり $\tau$ の等分布トルクが作用し、軸BCには単位長さあたり $-\tau$ の等分布トルクが作用する。A端面とC端面に生じるトルク $T_A$ と $T_C$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、軸ABと軸BCに作用するトルクの総和を計算する。

軸ABに作用するトルクの総和は $T_{AB} = \tau l$ である。

軸BCに作用するトルクの総和は $T_{BC} = -\tau l$ である。

全体のトルクのつり合いを考えると、

$T_A - T_{AB} + T_{BC} + T_C = 0$

$T_A - \tau l - \tau l + T_C = 0$

$T_A + T_C = 2 \tau l$ ...(1)

次に、ねじれ角に関する条件を考える。両端が固定されているため、A端からC端までのねじれ角の合計は0になる。

$\theta_{AB} + \theta_{BC} = 0$

ねじれ角 $\theta$ はトルク $T$, 長さ $L$, 横弾性係数 $G$, 極断面係数 $J$ を用いて、$\theta = \frac{TL}{GJ}$ で表される。

軸ABにおけるトルクは $T_A - \tau x$ （ただし、$0 \le x \le l$）、軸BCにおけるトルクは $-T_C - \tau (l-x)$ （ただし、$0 \le x \le l$）と表せる。

したがって、

$\int_0^l \frac{(T_A-\tau x)}{GJ_{AB}} dx + \int_0^l \frac{(-T_C-\tau(l-x))}{GJ_{BC}} dx = 0$

$J_{AB} = \frac{\pi}{32} d_{AB}^4 = \frac{\pi}{32} (2d_{BC})^4 = \frac{\pi}{2} d_{BC}^4$

$J_{BC} = \frac{\pi}{32} d_{BC}^4$

よって、$J_{AB} = 16 J_{BC}$

$\int_0^l \frac{T_A-\tau x}{16GJ_{BC}} dx + \int_0^l \frac{-T_C-\tau(l-x)}{GJ_{BC}} dx = 0$

$\int_0^l \frac{T_A-\tau x}{16} dx + \int_0^l -T_C-\tau(l-x) dx = 0$

$\frac{1}{16} [T_A x - \frac{1}{2} \tau x^2]_0^l + [-T_C x - \tau l x + \frac{1}{2} \tau x^2]_0^l = 0$

$\frac{1}{16} (T_A l - \frac{1}{2} \tau l^2) + (-T_C l - \tau l^2 + \frac{1}{2} \tau l^2) = 0$

$\frac{T_A l}{16} - \frac{\tau l^2}{32} - T_C l - \tau l^2 + \frac{\tau l^2}{2} = 0$

$\frac{T_A}{16} - \frac{\tau l}{32} - T_C - \tau l + \frac{\tau l}{2} = 0$

$\frac{T_A}{16} - T_C = \frac{\tau l}{32} + \tau l - \frac{\tau l}{2} = \frac{\tau l + 32\tau l - 16\tau l}{32} = \frac{17}{32}\tau l$

$T_A - 16 T_C = \frac{17}{2} \tau l$ ...(2)

(1)より $T_A = 2\tau l - T_C$ を(2)に代入する。

$2\tau l - T_C - 16 T_C = \frac{17}{2} \tau l$

$-17 T_C = \frac{17}{2} \tau l - 2\tau l = \frac{13}{2}\tau l$

$T_C = -\frac{13}{34} \tau l$

これを(1)に代入する。

$T_A = 2\tau l - (-\frac{13}{34} \tau l) = \frac{68 + 13}{34}\tau l = \frac{81}{34}\tau l$

3. 最終的な答え

$T_A = \frac{81}{34} \tau l$

$T_C = -\frac{13}{34} \tau l$