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与えられたポテンシャル $U(r)$ から、保存力 $\vec{F}(\vec{r})$ を求める問題です。ただし、$\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$、 $r = |\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ です。保存力は、ポテンシャルの負の勾配として計算できます。すなわち、$\vec{F}(\vec{r}) = -\nabla U(r)$ です。ここで、$\nabla$ はナブラ演算子で、直交座標系では $\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial}{\partial z}\vec{k}$ です。

応用数学ベクトル解析勾配偏微分ポテンシャル
2025/6/13

1. 問題の内容

与えられたポテンシャル U(r)U(r) から、保存力 F⃗(r⃗)\vec{F}(\vec{r}) を求める問題です。ただし、r⃗=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}、 r=∣r⃗∣=x2+y2+z2r = |\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} です。保存力は、ポテンシャルの負の勾配として計算できます。すなわち、F⃗(r⃗)=−∇U(r)\vec{F}(\vec{r}) = -\nabla U(r) です。ここで、∇\nabla はナブラ演算子で、直交座標系では ∇=∂∂xi⃗+∂∂yj⃗+∂∂zk⃗\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial}{\partial z}\vec{k} です。

2. 解き方の手順

各ポテンシャルについて、それぞれの偏微分を計算し、それらを組み合わせることで保存力を求めます。
(A) U(r)=12kx2U(r) = \frac{1}{2}kx^2 の場合:
∂U∂x=kx\frac{\partial U}{\partial x} = kx
∂U∂y=0\frac{\partial U}{\partial y} = 0
∂U∂z=0\frac{\partial U}{\partial z} = 0
したがって、F⃗(r⃗)=−kxi⃗−0j⃗−0k⃗=−kxi⃗\vec{F}(\vec{r}) = -kx\vec{i} - 0\vec{j} - 0\vec{k} = -kx\vec{i}
(B) U(r)=C1x2y3z4+C2xyzU(r) = C_1x^2y^3z^4 + C_2xyz の場合:
∂U∂x=2C1xy3z4+C2yz\frac{\partial U}{\partial x} = 2C_1xy^3z^4 + C_2yz
∂U∂y=3C1x2y2z4+C2xz\frac{\partial U}{\partial y} = 3C_1x^2y^2z^4 + C_2xz
∂U∂z=4C1x2y3z3+C2xy\frac{\partial U}{\partial z} = 4C_1x^2y^3z^3 + C_2xy
したがって、F⃗(r⃗)=−(2C1xy3z4+C2yz)i⃗−(3C1x2y2z4+C2xz)j⃗−(4C1x2y3z3+C2xy)k⃗\vec{F}(\vec{r}) = -(2C_1xy^3z^4 + C_2yz)\vec{i} - (3C_1x^2y^2z^4 + C_2xz)\vec{j} - (4C_1x^2y^3z^3 + C_2xy)\vec{k}
(C) U(r)=Cr2=C(x2+y2+z2)U(r) = Cr^2 = C(x^2 + y^2 + z^2) の場合:
∂U∂x=2Cx\frac{\partial U}{\partial x} = 2Cx
∂U∂y=2Cy\frac{\partial U}{\partial y} = 2Cy
∂U∂z=2Cz\frac{\partial U}{\partial z} = 2Cz
したがって、F⃗(r⃗)=−2Cxi⃗−2Cyj⃗−2Czk⃗=−2C(xi⃗+yj⃗+zk⃗)=−2Cr⃗\vec{F}(\vec{r}) = -2Cx\vec{i} - 2Cy\vec{j} - 2Cz\vec{k} = -2C(x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) = -2C\vec{r}
(D) U(r)=Cr=C(x2+y2+z2)−1/2U(r) = \frac{C}{r} = C(x^2 + y^2 + z^2)^{-1/2} の場合:
∂U∂x=C(−12)(x2+y2+z2)−3/2(2x)=−Cx(x2+y2+z2)−3/2=−Cxr3\frac{\partial U}{\partial x} = C(-\frac{1}{2})(x^2 + y^2 + z^2)^{-3/2}(2x) = -Cx(x^2 + y^2 + z^2)^{-3/2} = -\frac{Cx}{r^3}
∂U∂y=−Cyr3\frac{\partial U}{\partial y} = -\frac{Cy}{r^3}
∂U∂z=−Czr3\frac{\partial U}{\partial z} = -\frac{Cz}{r^3}
したがって、F⃗(r⃗)=Cxr3i⃗+Cyr3j⃗+Czr3k⃗=Cr3(xi⃗+yj⃗+zk⃗)=Cr⃗r3\vec{F}(\vec{r}) = \frac{Cx}{r^3}\vec{i} + \frac{Cy}{r^3}\vec{j} + \frac{Cz}{r^3}\vec{k} = \frac{C}{r^3}(x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) = \frac{C\vec{r}}{r^3}

3. 最終的な答え

(A) F⃗(r⃗)=−kxi⃗\vec{F}(\vec{r}) = -kx\vec{i}
(B) F⃗(r⃗)=−(2C1xy3z4+C2yz)i⃗−(3C1x2y2z4+C2xz)j⃗−(4C1x2y3z3+C2xy)k⃗\vec{F}(\vec{r}) = -(2C_1xy^3z^4 + C_2yz)\vec{i} - (3C_1x^2y^2z^4 + C_2xz)\vec{j} - (4C_1x^2y^3z^3 + C_2xy)\vec{k}
(C) F⃗(r⃗)=−2Cr⃗\vec{F}(\vec{r}) = -2C\vec{r}
(D) F⃗(r⃗)=Cr⃗r3\vec{F}(\vec{r}) = \frac{C\vec{r}}{r^3}

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