橋の上から物体Aを自由落下させ、その1.0秒後に同じ位置から物体Bを初速度14.7 m/sで鉛直下向きに投げ下ろしたところ、AとBは同時に水面に達した。重力加速度の大きさを $9.8 m/s^2$ として、以下の問いに答える。 (1) Bを投げ下ろしてから水面に達するまでの時間を求めよ。 (2) Bを投げ下ろした時刻を $t = 0$ s として、A, Bそれぞれのv-tグラフを描け。

1. 問題の内容

橋の上から物体Aを自由落下させ、その1.0秒後に同じ位置から物体Bを初速度14.7 m/sで鉛直下向きに投げ下ろしたところ、AとBは同時に水面に達した。重力加速度の大きさを $9.8 m/s^2$ として、以下の問いに答える。

(1) Bを投げ下ろしてから水面に達するまでの時間を求めよ。

(2) Bを投げ下ろした時刻を $t = 0$ s として、A, Bそれぞれのv-tグラフを描け。

2. 解き方の手順

(1) Bを投げ下ろしてから水面に達するまでの時間を $t$ [s] とする。物体Aは物体Bよりも1.0秒早く落下し始めたので、物体Aが落下した時間は $t + 1.0$ [s] となる。橋からの高さ（落下距離）を $h$ [m] とする。

物体Aの落下距離は、自由落下の式より

$h = \frac{1}{2}g(t+1.0)^2 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (t+1.0)^2 = 4.9(t+1.0)^2$

物体Bの落下距離は、初速度 $14.7 m/s$ の鉛直投げ下ろしの式より

$h = v_0t + \frac{1}{2}gt^2 = 14.7t + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2 = 14.7t + 4.9t^2$

AとBの落下距離は等しいので、

$4.9(t+1.0)^2 = 14.7t + 4.9t^2$

$4.9(t^2 + 2t + 1) = 14.7t + 4.9t^2$

$4.9t^2 + 9.8t + 4.9 = 14.7t + 4.9t^2$

$9.8t + 4.9 = 14.7t$

$4.9 = 4.9t$

$t = 1.0$ s

(2) v-tグラフを描く。

物体A：$t = -1.0$ s から $t = 1.0$ s まで

$v = gt = 9.8(t+1.0)$

$t = -1.0$ sのとき、$v = 0$ m/s

$t = 1.0$ sのとき、$v = 9.8 \times 2 = 19.6$ m/s

物体B：$t = 0$ s から $t = 1.0$ s まで

$v = v_0 + gt = 14.7 + 9.8t$

$t = 0$ sのとき、$v = 14.7$ m/s

$t = 1.0$ sのとき、$v = 14.7 + 9.8 = 24.5$ m/s

v-tグラフは省略

3. 最終的な答え

(1) Bを投げ下ろしてから水面に達するまでの時間は $1.0$ s

(2) v-tグラフは上記参照