与えられた不等式 $x \ge 0, y \ge 0, x+3y \le 15, x+y \le 8, 2x+y \le 10$ を満たす領域Dを図示し、領域D内を点$(x, y)$が動くときの、$3x+2y$の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式

$x \ge 0, y \ge 0, x+3y \le 15, x+y \le 8, 2x+y \le 10$

を満たす領域Dを図示し、領域D内を点$(x, y)$が動くときの、$3x+2y$の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 領域Dの図示

まず、与えられた不等式に対応する直線を座標平面上に描きます。

* $x=0$: y軸

* $y=0$: x軸

* $x+3y = 15$: $(0, 5)$, $(15, 0)$ を通る直線

* $x+y = 8$: $(0, 8)$, $(8, 0)$ を通る直線

* $2x+y = 10$: $(0, 10)$, $(5, 0)$ を通る直線

次に、それぞれの不等式が表す領域を考慮します。

$x \ge 0, y \ge 0$ より、領域は第1象限にあります。

$x+3y \le 15, x+y \le 8, 2x+y \le 10$ より、それぞれの直線より下側の領域となります。

これらの不等式全てを満たす領域が領域Dとなります。領域Dは五角形になります。

次に、各直線の交点を計算します。

* $x+3y = 15$ と $x+y = 8$ の交点: $x+3y - (x+y) = 15 - 8 \Rightarrow 2y = 7 \Rightarrow y = \frac{7}{2} = 3.5$, $x = 8 - y = 8 - 3.5 = 4.5$. よって、$(4.5, 3.5)$

* $x+y = 8$ と $2x+y = 10$ の交点: $2x+y - (x+y) = 10 - 8 \Rightarrow x = 2$, $y = 8 - x = 8 - 2 = 6$. よって、$(2, 6)$

* $2x+y = 10$ と $x$軸($y=0$)の交点：$(5,0)$

* $x+3y = 15$ と $x$軸($y=0$)の交点：$(15,0)$

* $x+3y = 15$ と $y$軸($x=0$)の交点：$(0,5)$

* $x+y = 8$ と $y$軸($x=0$)の交点：$(0,8)$

* $2x+y = 10$ と $y$軸($x=0$)の交点：$(0,10)$

したがって、領域Dの頂点は$(0, 0)$, $(5, 0)$, $(4.5, 3.5)$, $(2, 6)$, $(0, 5)$となります。

(2) $3x+2y$の最大値を求める

$k = 3x+2y$とおきます。このとき、$y = -\frac{3}{2}x + \frac{k}{2}$となります。

この直線が領域Dと交わるように$k$を変化させ、切片$\frac{k}{2}$が最大となる$k$を求めます。

領域Dの頂点で$3x+2y$の値を計算します。

* $(0, 0)$: $3(0)+2(0) = 0$

* $(5, 0)$: $3(5)+2(0) = 15$

* $(4.5, 3.5)$: $3(4.5)+2(3.5) = 13.5+7 = 20.5$

* $(2, 6)$: $3(2)+2(6) = 6+12 = 18$

* $(0, 5)$: $3(0)+2(5) = 10$

最大値は20.5です。

3. 最終的な答え

領域Dの図示は省略します（上記の説明から作図してください）。

$3x+2y$の最大値は$20.5$ (または $\frac{41}{2}$) です。