完全競争市場において、ある財の需要曲線と供給曲線が与えられています。需要曲線は $X = 220 - 2P$、供給曲線は $X = -20 + 2P$ で表されます。ここで、$X$ は数量、$P$ は価格です。供給量が80に制限されている場合、均衡価格、消費者余剰、生産者余剰、総余剰を求める問題です。

1. 問題の内容

完全競争市場において、ある財の需要曲線と供給曲線が与えられています。需要曲線は $X = 220 - 2P$、供給曲線は $X = -20 + 2P$ で表されます。ここで、$X$ は数量、$P$ は価格です。供給量が80に制限されている場合、均衡価格、消費者余剰、生産者余剰、総余剰を求める問題です。

2. 解き方の手順

(4) 供給量が80に制限されているときの価格

供給量が80に制限されているので、$X=80$ を需要曲線と供給曲線に代入します。

需要曲線に代入すると、$80 = 220 - 2P$ となります。

これを $P$ について解くと、

$2P = 220 - 80 = 140$

$P = \frac{140}{2} = 70$

したがって、需要曲線から見た価格は70です。

供給曲線に代入すると、$80 = -20 + 2P$ となります。

これを $P$ について解くと、

$2P = 80 + 20 = 100$

$P = \frac{100}{2} = 50$

したがって、供給曲線から見た価格は50です。

供給量が制限されている場合、需要曲線を用いて価格を決定します。したがって、価格は70となります。

(5) 消費者余剰

消費者余剰は、需要曲線の下側で、均衡価格より上の領域の面積です。

需要曲線は $X = 220 - 2P$ なので、$P = 110 - \frac{1}{2}X$ と表せます。

数量が80のときの価格は70なので、消費者余剰は以下のように計算できます。

消費者余剰 $= \frac{1}{2} \times (110 - 70) \times 80 = \frac{1}{2} \times 40 \times 80 = 20 \times 80 = 1600$

(6) 生産者余剰

生産者余剰は、供給曲線の上側で、均衡価格より下の領域の面積です。

供給曲線は $X = -20 + 2P$ なので、$P = \frac{1}{2}X + 10$ と表せます。

数量が80のときの価格は70ですが、供給曲線から見た価格は50なので、生産者余剰は以下のように計算できます。

生産者余剰 $= (70 - 10) \times 80 - \frac{1}{2} \times (80 - 0) \times (50-10) = 60 \times 80 - \frac{1}{2} \times 80 \times 40 = 4800 - 1600 = 3200$

または

$(70-50)*80 + \frac{1}{2}*50*20 = 1600 + 500 = 2100$

どちらにしても矛盾が発生しているので、再度計算してみます。

供給曲線は $X=-20+2P$であり、$X=0$のとき、$0=-20+2P$なので、$P=10$となります。

生産者余剰は、$(70-10)*80 = 60*80=4800$

(7) 総余剰

総余剰は、消費者余剰と生産者余剰の合計です。

総余剰 $= 1600 + 4800 = 6400$

3. 最終的な答え

(4) 価格: 70

(5) 消費者余剰: 1600

(6) 生産者余剰: 4800

(7) 総余剰: 6400