弦の振動に関する問題です。 (1) 質量 $M$ のおもりを吊るしたとき、AB間に腹が2個ある定常波が観測されたときの振動数を求めます。 (2) (1)の状態からおもりを取り替えたところ、AB間に基本振動が生じたときのおもりの質量を求めます。 (3) (2)の状態から振動数を少しだけ大きくしたとき、基本振動を生じさせるためにAB間の長さをどうすれば良いか、またその長さが $L$ より長いか短いかを答えます。 (4) (3)の状態から線密度 $\rho'$ の弦に取り替えたところ、AB間に腹が2個ある定常波が観測されたとき、$\rho'$ が $\rho$ の何倍かを求めます。

1. 問題の内容

弦の振動に関する問題です。

(1) 質量 $M$ のおもりを吊るしたとき、AB間に腹が2個ある定常波が観測されたときの振動数を求めます。

(2) (1)の状態からおもりを取り替えたところ、AB間に基本振動が生じたときのおもりの質量を求めます。

(3) (2)の状態から振動数を少しだけ大きくしたとき、基本振動を生じさせるためにAB間の長さをどうすれば良いか、またその長さが $L$ より長いか短いかを答えます。

(4) (3)の状態から線密度 $\rho'$ の弦に取り替えたところ、AB間に腹が2個ある定常波が観測されたとき、$\rho'$ が $\rho$ の何倍かを求めます。

2. 解き方の手順

(1) 弦を伝わる波の速さ $v$ は、張力 $T$ と線密度 $\rho$ を用いて $v = \sqrt{T/\rho}$ と表されます。

張力 $T$ はおもりの重力 $Mg$ に等しいので、$v = \sqrt{Mg/\rho}$ となります。

AB間に腹が2個ある定常波の波長 $\lambda_2$ は、AB間の長さ $L$ を用いて $\lambda_2 = L$ と表されます。

振動数 $f_2$ は $f_2 = v/\lambda_2$ であり、これを代入すると $f_2 = \sqrt{Mg/\rho}/L = \frac{1}{L} \sqrt{\frac{Mg}{\rho}}$ となります。

(2) 基本振動の波長 $\lambda_1$ は、$\lambda_1 = 2L$ と表されます。

おもりの質量を $m$ とすると、張力は $mg$ となり、波の速さは $v = \sqrt{mg/\rho}$ となります。

基本振動の振動数 $f_1$ は $f_1 = v/\lambda_1$ なので、$f_1 = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{mg}{\rho}}$ となります。

(1) より振動数は変わらないので、$f_1 = f_2$ 、つまり $\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{mg}{\rho}} = \frac{1}{L} \sqrt{\frac{Mg}{\rho}}$ となります。

両辺を二乗して整理すると、$\frac{mg}{4L^2\rho} = \frac{Mg}{L^2\rho}$ となり、$m = 4M$ となります。

(3) (2)の状態から振動数を少しだけ大きくした $f' = f_1 + \Delta f$ とします。

基本振動の波長 $\lambda_1'$ は $\lambda_1' = 2L'$ となります。

張力は $4Mg$ のままなので、波の速さは $v' = \sqrt{4Mg/\rho} = 2\sqrt{Mg/\rho}$ となります。

$f' = v' / \lambda_1'$ であるので、$f' = \frac{2}{2L'} \sqrt{\frac{Mg}{\rho}} = \frac{1}{L'} \sqrt{\frac{Mg}{\rho}}$ となります。

$f'$ を大きくするためには、$L'$ を小さくする必要があります。

したがって、AB間の長さを $L$ より短くする必要があります。

(4) 線密度が $\rho'$ の弦の場合、腹が2個ある定常波の波長は $\lambda_2 = L$ です。

張力は $4Mg$ のままなので、波の速さは $v = \sqrt{4Mg/\rho'}$ となります。

振動数 $f'$ は $f' = v/\lambda_2 = \frac{1}{L} \sqrt{\frac{4Mg}{\rho'}}$ となります。

(3) より $f' = \frac{1}{L'} \sqrt{\frac{Mg}{\rho}}$ であり、$L' \approx L$ であるので、$f' = \frac{1}{L} \sqrt{\frac{Mg}{\rho}}$ と近似できます。

したがって、$\frac{1}{L} \sqrt{\frac{4Mg}{\rho'}} = \frac{1}{L} \sqrt{\frac{Mg}{\rho}}$ となり、$\frac{4Mg}{\rho'} = \frac{Mg}{\rho}$ となります。

これを整理すると、$\rho' = 4\rho$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{L} \sqrt{\frac{Mg}{\rho}}$

(2) $4M$

(3) 短くする必要がある

(4) 4倍