野菜Aと野菜Bを組み合わせて野菜ジュースを作る。野菜Aの個数を$a$、野菜Bの個数を$b$とする。 与えられた栄養素$x_1, x_2, x_3$の含有量に関する条件と、野菜の総重量に関する条件を満たしつつ、$a+b$を最小にする$(a, b)$の組み合わせを2組求める問題。ただし、$a < b$とする。

1. 問題の内容

野菜Aと野菜Bを組み合わせて野菜ジュースを作る。野菜Aの個数を$a$、野菜Bの個数を$b$とする。

与えられた栄養素$x_1, x_2, x_3$の含有量に関する条件と、野菜の総重量に関する条件を満たしつつ、$a+b$を最小にする$(a, b)$の組み合わせを2組求める問題。ただし、$a < b$とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた条件を不等式で表す。

栄養素$x_1$について: $8a + 4b \geq 42$ -> $4a + 2b \geq 21$

栄養素$x_2$について: $4a + 6b \geq 48$ -> $2a + 3b \geq 24$

栄養素$x_3$について: $2a + 6b \geq 30$ -> $a + 3b \geq 15$

重量について: $a + b \geq 3$　（問題文を読み取ると、野菜ジュースなので0個はありえない）

これらの不等式を満たす整数$a, b$について、$a+b$の値を最小化する。

$4a + 2b \geq 21$

$2a + 3b \geq 24$

$a + 3b \geq 15$

$a, b$は整数

これらの条件を満たす整数解$(a, b)$を調べる。

$a+b = k$ とおき、$b = k - a$として、条件に代入すると、

$4a + 2(k-a) \geq 21$ -> $2a \geq 21 - 2k$ -> $a \geq \frac{21 - 2k}{2}$

$2a + 3(k-a) \geq 24$ -> $-a \geq 24 - 3k$ -> $a \leq 3k - 24$

$a + 3(k-a) \geq 15$ -> $-2a \geq 15 - 3k$ -> $a \leq \frac{3k - 15}{2}$

この不等式を満たす$a$が存在するための条件は

$\frac{21 - 2k}{2} \leq 3k - 24$ -> $21 - 2k \leq 6k - 48$ -> $69 \leq 8k$ -> $k \geq 8.625$ なので、$k \geq 9$

$\frac{21 - 2k}{2} \leq \frac{3k - 15}{2}$ -> $21 - 2k \leq 3k - 15$ -> $36 \leq 5k$ -> $k \geq 7.2$ なので、$k \geq 8$

$k=9$の場合：

$\frac{21 - 18}{2} \leq a \leq 27 - 24$ -> $1.5 \leq a \leq 3$

$1.5 \leq a \leq \frac{27 - 15}{2}$ -> $1.5 \leq a \leq 6$

$a=2,3$ が候補

$a=2$ のとき $b=7$。 $4(2) + 2(7) = 22 \geq 21$, $2(2) + 3(7) = 25 \geq 24$, $2 + 3(7) = 23 \geq 15$

$a=3$ のとき $b=6$。 $4(3) + 2(6) = 24 \geq 21$, $2(3) + 3(6) = 24 \geq 24$, $3 + 3(6) = 21 \geq 15$

$k=8$の場合：

$\frac{21 - 16}{2} \leq a \leq 24 - 24$ -> $2.5 \leq a \leq 0$ 不適

したがって、$a+b$を最小にするのは$k=9$の時。

$a<b$ の条件から、$(a, b) = (2, 7)$ と $(3, 6)$ が候補。$a<b$を満たすのは $(2,7)$

次に、$k=10$の場合

$\frac{21 - 20}{2} \leq a \leq 30 - 24$ -> $0.5 \leq a \leq 6$

$0.5 \leq a \leq \frac{30 - 15}{2}$ -> $0.5 \leq a \leq 7.5$

$a = 1, 2, 3, 4, 5, 6$

$a = 4, b=6$のとき、$4a + 2b = 28 \geq 21$, $2a + 3b = 26 \geq 24$, $a + 3b = 22 \geq 15$

$a = 5, b=5$のとき、$4a + 2b = 30 \geq 21$, $2a + 3b = 25 \geq 24$, $a + 3b = 20 \geq 15$

$a=4, b=6$は$a<b$を満たす。

したがって、$(a, b) = (3, 6), (4, 6)$ が候補となる。

$a<b$という条件より、$a=3$のとき最小の値を与えるのは$(3, 6)$である。

3. 最終的な答え

(a, b) = (3, 6), (4, 6)

ただし 3 < 4 とする。