レポート問題1では、3次元空間上の3点 $O(0,0,0)$, $A(2,3,1)$, $B(5,0,3)$ が与えられています。 (i) ベクトル $OA$ と $OB$ の内積 $OA \cdot OB$ を求めます。 (ii) ベクトル $OA$ と $OB$ の外積 $OA \times OB$ を求めます。 (iii) 3点 $O$, $A$, $B$ を通る平面の方程式を求めます。 レポート問題2では、2つの行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}$ が与えられています。 (i) 行列の積 $AB$ を計算します。 (ii) 行列 $B$ の2倍 $2B$ を計算します。 (iii) 行列 $A$ の2乗 $A^2$ を計算します。

1. 問題の内容

レポート問題1では、3次元空間上の3点 $O(0,0,0)$, $A(2,3,1)$, $B(5,0,3)$ が与えられています。

(i) ベクトル $OA$ と $OB$ の内積 $OA \cdot OB$ を求めます。

(ii) ベクトル $OA$ と $OB$ の外積 $OA \times OB$ を求めます。

(iii) 3点 $O$, $A$, $B$ を通る平面の方程式を求めます。

レポート問題2では、2つの行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ と $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}$ が与えられています。

(i) 行列の積 $AB$ を計算します。

(ii) 行列 $B$ の2倍 $2B$ を計算します。

(iii) 行列 $A$ の2乗 $A^2$ を計算します。

2. 解き方の手順

レポート問題1:

(i) 内積 $OA \cdot OB$：

ベクトル $OA$ は $A$ の座標に等しく、ベクトル $OB$ は $B$ の座標に等しいです。

よって、$OA = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$、 $OB = \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$

内積は $OA \cdot OB = (2)(5) + (3)(0) + (1)(3) = 10 + 0 + 3 = 13$

(ii) 外積 $OA \times OB$：

$OA \times OB = \begin{pmatrix} (3)(3) - (1)(0) \\ (1)(5) - (2)(3) \\ (2)(0) - (3)(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 - 0 \\ 5 - 6 \\ 0 - 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ -1 \\ -15 \end{pmatrix}$

(iii) 平面の方程式：

3点 $O$, $A$, $B$ を通る平面の法線ベクトルは $OA \times OB$ です。

よって、平面の方程式は $9x - y - 15z = D$ の形です。

この平面は点 $O(0,0,0)$ を通るので、$9(0) - (0) - 15(0) = D$ より $D = 0$

したがって、平面の方程式は $9x - y - 15z = 0$

レポート問題2:

(i) 行列の積 $AB$：

行列 $A$ は $2 \times 2$ 行列、行列 $B$ は $3 \times 2$ 行列です。

$A$ の列数と $B$ の行数が異なるため、積 $AB$ は存在しません。

(ii) 行列 $B$ の2倍 $2B$：

$2B = 2 \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \\ 12 & 0 \end{pmatrix}$

(iii) 行列 $A$ の2乗 $A^2$：

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3)(3) + (-1)(5) & (3)(-1) + (-1)(2) \\ (5)(3) + (2)(5) & (5)(-1) + (2)(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 - 5 & -3 - 2 \\ 15 + 10 & -5 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 25 & -1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

レポート問題1:

(i) $OA \cdot OB = 13$

(ii) $OA \times OB = \begin{pmatrix} 9 \\ -1 \\ -15 \end{pmatrix}$

(iii) $9x - y - 15z = 0$

レポート問題2:

(i) $AB$ は存在しません。

(ii) $2B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \\ 12 & 0 \end{pmatrix}$

(iii) $A^2 = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 25 & -1 \end{pmatrix}$