関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ の $0 \le x \le 1$ における最小値を求めよ。ただし、$a$ は定数である。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ の $0 \le x \le 1$ における最小値を求めよ。ただし、$a$ は定数である。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数を平方完成する。

$y = 2x^2 - 4ax + 2a^2 = 2(x^2 - 2ax) + 2a^2 = 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2a^2 = 2(x-a)^2 - 2a^2 + 2a^2 = 2(x-a)^2$

よって、与えられた2次関数は $y = 2(x-a)^2$ となる。

これは下に凸な放物線であり、軸は $x=a$ である。

定義域 $0 \le x \le 1$ における最小値を求めるために、$a$ の値によって場合分けをする。

(i) $a < 0$ のとき

区間 $0 \le x \le 1$ で $y$ は単調減少であるから、$x=1$ で最小となる。

$y = 2(1-a)^2 = 2(1-2a+a^2) = 2a^2 - 4a + 2$

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき

$x=a$ で最小となる。

$y = 2(a-a)^2 = 0$

(iii) $1 < a$ のとき

区間 $0 \le x \le 1$ で $y$ は単調増加であるから、$x=0$ で最小となる。

$y = 2(0-a)^2 = 2a^2$

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、最小値は $2a^2 - 4a + 2$

$0 \le a \le 1$ のとき、最小値は $0$

$1 < a$ のとき、最小値は $2a^2$