2次関数 $y = x^2 - 2(2a-1)x + 3a^2 + 8$ の最小値を $m$ とするとき、$m$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2(2a-1)x + 3a^2 + 8$ の最小値を $m$ とするとき、$m$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

\begin{align*}

y &= x^2 - 2(2a-1)x + 3a^2 + 8 \\

&= (x - (2a-1))^2 - (2a-1)^2 + 3a^2 + 8 \\

&= (x - (2a-1))^2 - (4a^2 - 4a + 1) + 3a^2 + 8 \\

&= (x - (2a-1))^2 - 4a^2 + 4a - 1 + 3a^2 + 8 \\

&= (x - (2a-1))^2 - a^2 + 4a + 7

\end{align*}

したがって、最小値 $m$ は

$$m = -a^2 + 4a + 7$$

となります。

次に、$m$ の最大値を求めます。$m$ は $a$ の2次関数なので、平方完成して最大値を求めます。

\begin{align*}

m &= -a^2 + 4a + 7 \\

&= -(a^2 - 4a) + 7 \\

&= -(a^2 - 4a + 4) + 4 + 7 \\

&= -(a-2)^2 + 11

\end{align*}

$m$ は $a=2$ のとき最大値 $11$ をとります。

3. 最終的な答え

$m$ の最大値は $11$