$x$ は実数とします。次の2つの命題の真偽を、集合を使って調べます。 (1) $2 < x < 6 \implies 1 < x < 8$ (2) $1 < x < 5 \implies 3 < x < 8$

1. 問題の内容

$x$ は実数とします。次の2つの命題の真偽を、集合を使って調べます。

(1) $2 < x < 6 \implies 1 < x < 8$

(2) $1 < x < 5 \implies 3 < x < 8$

2. 解き方の手順

(1) $2 < x < 6 \implies 1 < x < 8$ の真偽

$P = \{x \mid 2 < x < 6\}$

$Q = \{x \mid 1 < x < 8\}$

$P$ は $2$ より大きく $6$ より小さい実数全体の集合、$Q$ は $1$ より大きく $8$ より小さい実数全体の集合です。

$P$ が $Q$ の部分集合であるかどうかを調べます。

$2 < x < 6$ ならば、必ず $1 < x < 8$ であるため、$P \subseteq Q$ が成り立ちます。

したがって、与えられた命題は真です。

(2) $1 < x < 5 \implies 3 < x < 8$ の真偽

$P = \{x \mid 1 < x < 5\}$

$Q = \{x \mid 3 < x < 8\}$

$P$ は $1$ より大きく $5$ より小さい実数全体の集合、$Q$ は $3$ より大きく $8$ より小さい実数全体の集合です。

$P$ が $Q$ の部分集合であるかどうかを調べます。

$1 < x < 5$ であっても、例えば $x = 2$ の場合、$3 < x < 8$ は成り立ちません。なぜなら $x=2$ は3より大きくないからです。

したがって、$P \subseteq Q$ は成り立ちません。

与えられた命題は偽です。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽