2次関数 $y = -\frac{1}{2}x^2 - 3x - 7$ のグラフの軸と頂点を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -\frac{1}{2}x^2 - 3x - 7$ のグラフの軸と頂点を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成させる。

$y = -\frac{1}{2}x^2 - 3x - 7$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 6x) - 7$

$y = -\frac{1}{2}(x^2 + 6x + 9 - 9) - 7$

$y = -\frac{1}{2}((x+3)^2 - 9) - 7$

$y = -\frac{1}{2}(x+3)^2 + \frac{9}{2} - 7$

$y = -\frac{1}{2}(x+3)^2 + \frac{9}{2} - \frac{14}{2}$

$y = -\frac{1}{2}(x+3)^2 - \frac{5}{2}$

平方完成された式は、$y = a(x-p)^2 + q$ の形であり、このとき軸は $x=p$、頂点は $(p, q)$ となる。

今回の場合は、$a = -\frac{1}{2}$, $p = -3$, $q = -\frac{5}{2}$ である。

したがって、軸は $x = -3$ であり、頂点は $(-3, -\frac{5}{2})$ である。

3. 最終的な答え

軸：直線 $x = -3$

頂点：$(-3, -\frac{5}{2})$