## 解答

## 解答

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1. 問題の内容

与えられた数列に関する以下の3つの問いに答えます。

(3) 数列 $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, \frac{1}{3}, \frac{3}{3}, \frac{5}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{5}{4}, \frac{7}{4}, \frac{1}{5}, \dots$ について

(ア) $\frac{5}{8}$ は第何項か。

(イ) この数列の第800項を求めよ。

(ウ) この数列の初項から第800項までの和を求めよ。

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2. 解き方の手順

この数列は、分母が順に1, 2, 3, ...と増えていき、それぞれの分母に対して分子が1, 3, 5, 7, ...と2ずつ増えていく数列です。

(ア) $\frac{5}{8}$ は第何項か。

まず、分母が8である項を考えます。分母が8である項は、$\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8}, \dots$ となります。このうち、$\frac{5}{8}$は、分母が8である項の中で3番目の項です。

分母が$n$である項の数は$n$個なので、分母が7までの項の総数は $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = \frac{7 \times 8}{2} = 28$個です。

したがって、$\frac{5}{8}$は、28 + 3 = 31番目の項です。

(イ) この数列の第800項を求めよ。

第800項の分母を考えます。

分母が$n$である項の総和は$\frac{n(n+1)}{2}$なので、$\frac{n(n+1)}{2} \geq 800$を満たす最小の整数$n$を求めます。

$n(n+1) \geq 1600$となる$n$を考えると、$n=39$のとき、$39 \times 40 = 1560$となり、$n=40$のとき、$40 \times 41 = 1640$となります。

したがって、分母が40である項まで並べると、項の数は$\frac{40 \times 41}{2} = 820$となります。

つまり、第800項の分母は40より小さいことがわかります。

$\frac{n(n+1)}{2} < 800$となる最大の$n$を求めると、$n=39$です。このとき、項の数は$\frac{39 \times 40}{2} = 780$となります。

したがって、第800項は分母が40である項の中で、20番目の項です。

分母が40である項は、$\frac{1}{40}, \frac{3}{40}, \frac{5}{40}, \dots$と並びます。

このとき、第$k$項は$\frac{2k-1}{40}$と表せるので、分母が40である項の中で20番目の項は、$\frac{2 \times 20 - 1}{40} = \frac{39}{40}$となります。

(ウ) この数列の初項から第800項までの和を求めよ。

分母が1から39までの項の和と、分母が40である項のうち最初の20項の和を計算します。

分母が$k$である項の和は、

$\frac{1}{k} + \frac{3}{k} + \frac{5}{k} + \dots + \frac{2k-1}{k} = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} (2i-1) = \frac{1}{k} (2 \sum_{i=1}^{k} i - \sum_{i=1}^{k} 1) = \frac{1}{k} (2 \frac{k(k+1)}{2} - k) = \frac{1}{k}(k(k+1)-k) = \frac{1}{k}(k^2) = k$となります。

したがって、分母が1から39までの項の和は、$\sum_{k=1}^{39} k = \frac{39 \times 40}{2} = 780$となります。

分母が40である項のうち最初の20項の和は、

$\sum_{i=1}^{20} \frac{2i-1}{40} = \frac{1}{40} \sum_{i=1}^{20} (2i-1) = \frac{1}{40} (2 \sum_{i=1}^{20} i - \sum_{i=1}^{20} 1) = \frac{1}{40} (2 \frac{20 \times 21}{2} - 20) = \frac{1}{40} (20 \times 21 - 20) = \frac{1}{40}(20 \times 20) = \frac{400}{40} = 10$となります。

したがって、初項から第800項までの和は、780 + 10 = 790となります。

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3. 最終的な答え

(ア) 31

(イ) $\frac{39}{40}$

(ウ) 790