135にできるだけ小さい自然数をかけて、その結果がある自然数の平方になるようにしたい。かけるべき自然数と、その結果がどんな自然数の平方になるかを求める。

## 問題4(1)

1. 問題の内容

135にできるだけ小さい自然数をかけて、その結果がある自然数の平方になるようにしたい。かけるべき自然数と、その結果がどんな自然数の平方になるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、135を素因数分解する。

$135 = 3 \times 45 = 3 \times 3 \times 15 = 3 \times 3 \times 3 \times 5 = 3^3 \times 5$

ある自然数の平方にするためには、各素因数の指数が偶数でなければならない。

現在の135の素因数分解は $3^3 \times 5^1$ なので、3と5の指数を偶数にする必要がある。

3を1つ、5を1つかけることで、指数の合計が偶数になる。

したがって、かけるべき数は $3 \times 5 = 15$ である。

$135 \times 15 = (3^3 \times 5) \times (3 \times 5) = 3^4 \times 5^2 = (3^2)^2 \times 5^2 = (3^2 \times 5)^2 = (9 \times 5)^2 = 45^2$

したがって、結果は45の平方になる。

3. 最終的な答え

かけるべき数は15であり、結果は45の平方になる。

## 問題4(2)

1. 問題の内容

$x = 2, y = -5$ のとき、$(x-y)(x+4y) - (x+2y)(x-2y)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、簡略化する。

$(x-y)(x+4y) - (x+2y)(x-2y) = (x^2 + 4xy - xy - 4y^2) - (x^2 - 4y^2)$

$= x^2 + 3xy - 4y^2 - x^2 + 4y^2$

$= 3xy$

$x = 2, y = -5$ を代入する。

$3xy = 3 \times 2 \times (-5) = -30$

3. 最終的な答え

-30

## 問題4(3)

1. 問題の内容

$a = 38, b = 3$ のとき、$a^2 - ab - 20b^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた式に値を直接代入して計算することもできるが、因数分解できる場合は因数分解した方が計算が楽になることがある。

$a^2 - ab - 20b^2 = (a - 5b)(a + 4b)$

$a = 38, b = 3$ を代入する。

$(a - 5b)(a + 4b) = (38 - 5 \times 3)(38 + 4 \times 3) = (38 - 15)(38 + 12) = 23 \times 50 = 1150$

3. 最終的な答え

1150