$x, y, z$ を整数とする。以下の5つの問題に答えよ。 (1) $1 \le x \le 5$, $1 \le y \le 5$, $1 \le z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。 (2) $1 \le x < y < z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。 (3) $1 \le x \le y \le z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。 (4) $x + y + z = 5$, $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。 (5) $x + y + z = 5$, $x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。

1. 問題の内容

$x, y, z$ を整数とする。以下の5つの問題に答えよ。

(1) $1 \le x \le 5$, $1 \le y \le 5$, $1 \le z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。

(2) $1 \le x < y < z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。

(3) $1 \le x \le y \le z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。

(4) $x + y + z = 5$, $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。

(5) $x + y + z = 5$, $x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $x, y, z$ はそれぞれ $1$ から $5$ までの値をとりうるので、それぞれ5通りの選択肢がある。したがって、組み合わせの総数は $5 \times 5 \times 5 = 125$ となる。

(2) $1 \le x < y < z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数は、$1$ から $5$ までの異なる3つの整数を選ぶ組み合わせの数に等しい。これは $5$ 個から $3$ 個を選ぶ組み合わせなので、${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ となる。

(3) $1 \le x \le y \le z \le 5$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求める。これは、異なる種類の玉が５個あり、そこから重複を許して３個選ぶ組み合わせの数に等しい。これは重複組み合わせの考え方を使う。

$x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$ とおくと、$0 \le x' \le y' \le z' \le 4$ となる。さらに、$a = x'$, $b = y' - x'$, $c = z' - y'$, $d = 4 - z'$ とおくと、$a + b + c + d = 4$ であり、$a, b, c, d \ge 0$ となる。この条件を満たす整数の組 $(a, b, c, d)$ の個数は、4個のボールを4個の箱に入れる組み合わせの数に等しい。

代わりに、$x'' = x-1$, $y'' = y-1$, $z'' = z-1$ とすると $0 \le x'' \le y'' \le z'' \le 4$ となる。

重複組合せの公式を使うと、${}_{5+3-1}C_{3} = {}_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$となる。

(4) $x + y + z = 5$, $x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数は、5個のボールを3個の箱に入れる組み合わせの数に等しい。これは重複組み合わせの考え方を使う。${}_{3+5-1}C_{5} = {}_7C_5 = {}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2} = 21$ となる。

(5) $x + y + z = 5$, $x \ge 1$, $y \ge 1$, $z \ge 1$ を満たす整数の組 $(x, y, z)$ の個数を求める。$x' = x - 1$, $y' = y - 1$, $z' = z - 1$ とおくと、$x' + y' + z' = 2$, $x' \ge 0$, $y' \ge 0$, $z' \ge 0$ となる。これは、2個のボールを3個の箱に入れる組み合わせの数に等しい。${}_{3+2-1}C_2 = {}_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 125

(2) 10

(3) 35

(4) 21

(5) 6