不等式 $x(x+2)(x-1) > 0$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $x(x+2)(x-1) > 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

与えられた不等式は、$x(x+2)(x-1) > 0$ です。この不等式を解くためには、まず、$x(x+2)(x-1) = 0$ となる $x$ の値を求めます。これは、$x = 0, -2, 1$ です。

次に、数直線上でこれらの値をプロットし、区間を分けます。区間は次のようになります：

* $x < -2$

* $-2 < x < 0$

* $0 < x < 1$

* $x > 1$

各区間からテストポイントを選び、不等式に代入して、不等式が成立するかどうかを調べます。

* $x < -2$ のとき、例えば $x = -3$ を選ぶと、 $(-3)(-3+2)(-3-1) = (-3)(-1)(-4) = -12 < 0$ となり、不等式は成立しません。

* $-2 < x < 0$ のとき、例えば $x = -1$ を選ぶと、 $(-1)(-1+2)(-1-1) = (-1)(1)(-2) = 2 > 0$ となり、不等式は成立します。

* $0 < x < 1$ のとき、例えば $x = 0.5$ を選ぶと、 $(0.5)(0.5+2)(0.5-1) = (0.5)(2.5)(-0.5) = -0.625 < 0$ となり、不等式は成立しません。

* $x > 1$ のとき、例えば $x = 2$ を選ぶと、 $(2)(2+2)(2-1) = (2)(4)(1) = 8 > 0$ となり、不等式は成立します。

したがって、不等式 $x(x+2)(x-1) > 0$ が成立する $x$ の範囲は、$-2 < x < 0$ と $x > 1$ です。

3. 最終的な答え

$-2 < x < 0$, $x > 1$