問題7は、与えられたベクトル $v_1, v_2, \dots, v_n$ を、ベクトル $u_1, u_2, \dots, u_m$ の線形結合で表す問題です。 問題8は、$u_1, u_2, \dots, u_m$ が一次独立であるとき、問題7で与えられた $v_1, v_2, \dots, v_n$ が一次独立であるか、一次従属であるかを判定する問題です。

以下に、問題7とその続きである問題8の解き方と解答を示します。

1. 問題の内容

問題7は、与えられたベクトル $v_1, v_2, \dots, v_n$ を、ベクトル $u_1, u_2, \dots, u_m$ の線形結合で表す問題です。

問題8は、$u_1, u_2, \dots, u_m$ が一次独立であるとき、問題7で与えられた $v_1, v_2, \dots, v_n$ が一次独立であるか、一次従属であるかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

問題7では、与えられたベクトル $v_i$ が $u_j$ の線形結合で表されているので、そのまま答えます。

問題8では、$v_i$ が一次独立か一次従属かを判定します。$u_1, u_2, \dots, u_m$ が一次独立であるという条件が重要になります。

(a) の場合

$v_1 = 2u_1 + u_2 - 3u_3$

$v_2 = u_1 - u_2 + u_3$

$v_3 = u_1 + 2u_2 + 4u_3$

$a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 = 0$ となる $a_1, a_2, a_3$ を考えます。

$a_1 (2u_1 + u_2 - 3u_3) + a_2 (u_1 - u_2 + u_3) + a_3 (u_1 + 2u_2 + 4u_3) = 0$

$(2a_1 + a_2 + a_3)u_1 + (a_1 - a_2 + 2a_3)u_2 + (-3a_1 + a_2 + 4a_3)u_3 = 0$

$u_1, u_2, u_3$ が一次独立なので、

$2a_1 + a_2 + a_3 = 0$

$a_1 - a_2 + 2a_3 = 0$

$-3a_1 + a_2 + 4a_3 = 0$

この連立一次方程式を解きます。

(1) + (2) : $3a_1 + 3a_3 = 0$ --> $a_1 = -a_3$

(2) + (3) : $-2a_1 + 6a_3 = 0$ --> $-2a_1 = -6a_3$ --> $a_1 = 3a_3$

$a_1 = -a_3$ かつ $a_1 = 3a_3$ なので、$a_1 = a_3 = 0$ となります。

(1) に代入すると $a_2 = 0$ となります。

したがって、$a_1 = a_2 = a_3 = 0$ なので、$v_1, v_2, v_3$ は一次独立です。

(b) の場合

$v_1 = 2u_1 + u_2 - u_3 - u_4$

$v_2 = u_1 - u_2 + 2u_3 + u_4$

$v_3 = u_1 - u_2 + u_3 - u_4$

$v_4 = 2u_1 + u_2 - 2u_3 - 3u_4$

$a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 + a_4 v_4 = 0$ となる $a_1, a_2, a_3, a_4$ を考えます。

係数行列を作り、簡約化します。

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & -1 & -3 \end{pmatrix}$

この行列のランクは4なので、$a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0$ のみが解となります。

したがって、$v_1, v_2, v_3, v_4$ は一次独立です。

(c) の場合

$v_1 = u_1 + u_2 - u_3 - 2u_5$

$v_2 = 2u_1 - u_2 + u_3 - u_4 + u_5$

$v_3 = 2u_1 - u_3 + u_4 - 3u_5$

$v_4 = u_1 + u_2 - 3u_4 - 2u_5$

$a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 + a_4 v_4 = 0$ となる $a_1, a_2, a_3, a_4$ を考えます。

係数行列を作り、簡約化します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & -3 \\ -2 & 1 & -3 & -2 \end{pmatrix}$

この行列のランクは4なので、$a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0$ のみが解となります。

したがって、$v_1, v_2, v_3, v_4$ は一次独立です。

3. 最終的な答え

(a) $v_1 = 2u_1 + u_2 - 3u_3, v_2 = u_1 - u_2 + u_3, v_3 = u_1 + 2u_2 + 4u_3$　であり、$v_1, v_2, v_3$ は一次独立。

(b) $v_1 = 2u_1 + u_2 - u_3 - u_4, v_2 = u_1 - u_2 + 2u_3 + u_4, v_3 = u_1 - u_2 + u_3 - u_4, v_4 = 2u_1 + u_2 - 2u_3 - 3u_4$　であり、$v_1, v_2, v_3, v_4$ は一次独立。

(c) $v_1 = u_1 + u_2 - u_3 - 2u_5, v_2 = 2u_1 - u_2 + u_3 - u_4 + u_5, v_3 = 2u_1 - u_3 + u_4 - 3u_5, v_4 = u_1 + u_2 - 3u_4 - 2u_5$　であり、$v_1, v_2, v_3, v_4$ は一次独立。