$n$ を2以上の自然数とする。$1, 2, 3, ..., n$ の $n$ 個の自然数から異なる2つを選んで積を作り、それらすべての和 $S$ を求める。ただし、$S$ は $(1+2+3+...+n)^2 = (1^2+2^2+3^2+...+n^2) + 2S$ を用いて計算する。

1. 問題の内容

$n$ を2以上の自然数とする。$1, 2, 3, ..., n$ の $n$ 個の自然数から異なる2つを選んで積を作り、それらすべての和 $S$ を求める。ただし、$S$ は

$(1+2+3+...+n)^2 = (1^2+2^2+3^2+...+n^2) + 2S$

を用いて計算する。

2. 解き方の手順

まず、数列の和の公式 $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1)$ と $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ を用いる。

$(1+2+3+...+n)^2 = (\sum_{k=1}^{n} k)^2 = (\frac{1}{2}n(n+1))^2 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$

$(1^2+2^2+3^2+...+n^2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

与えられた等式 $(1+2+3+...+n)^2 = (1^2+2^2+3^2+...+n^2) + 2S$ から $2S$ を求めると、

$2S = (1+2+3+...+n)^2 - (1^2+2^2+3^2+...+n^2) = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2 - \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$2S = \frac{1}{12}n(n+1) [3n(n+1) - 2(2n+1)] = \frac{1}{12}n(n+1) [3n^2+3n - 4n - 2] = \frac{1}{12}n(n+1)(3n^2-n-2)$

$3n^2-n-2 = (n-1)(3n+2)$ より、

$2S = \frac{1}{12}n(n+1)(n-1)(3n+2)$

したがって、求める和 $S$ は

$S = \frac{1}{24}n(n+1)(n-1)(3n+2)$

3. 最終的な答え

$S = \frac{1}{24}n(n+1)(n-1)(3n+2)$