2以上の自然数 $n$ が与えられたとき、1から $n$ までの $n$ 個の自然数から異なる2つの数を選び、それらの積を計算します。そのようなすべての積の和を求めなさい。

1. 問題の内容

2以上の自然数 $n$ が与えられたとき、1から $n$ までの $n$ 個の自然数から異なる2つの数を選び、それらの積を計算します。そのようなすべての積の和を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、1から $n$ までの数の総和 $S$ と、1から $n$ までの数の二乗の総和 $T$ を求めます。

$S = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

$T = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

次に、1から $n$ までの異なる2つの数の積の和を $A$ とします。

$A$ を求めるために、$S^2$ を考えます。

$S^2 = (1 + 2 + 3 + \dots + n)^2 = (1 + 2 + 3 + \dots + n)(1 + 2 + 3 + \dots + n)$

$S^2$ を展開すると、各数の二乗の和と、異なる2数の積の2倍が現れます。

したがって、$S^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 + 2A = T + 2A$

したがって、$2A = S^2 - T$ となります。

$A = \frac{S^2 - T}{2}$

$A = \frac{(\frac{n(n+1)}{2})^2 - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{2}$

$A = \frac{\frac{n^2(n+1)^2}{4} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{2}$

$A = \frac{n(n+1)[\frac{n(n+1)}{4} - \frac{2n+1}{6}]}{2}$

$A = \frac{n(n+1)[\frac{3n(n+1) - 2(2n+1)}{12}]}{2}$

$A = \frac{n(n+1)[3n^2 + 3n - 4n - 2]}{24}$

$A = \frac{n(n+1)(3n^2 - n - 2)}{24}$

$A = \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}$

$A = \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24} = \frac{n(n^2-1)(3n+2)}{24} = \frac{n(3n^3 + 2n^2 - 3n - 2)}{24} = \frac{3n^4 + 2n^3 - 3n^2 - 2n}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}$

または

$\frac{3n^4 + 2n^3 - 3n^2 - 2n}{24}$