与えられたベクトル $v_1, v_2, \dots, v_n$ を、ベクトル $u_1, u_2, \dots, u_m$ の線形結合として表現する。具体的には、(a), (b), (c) それぞれの場合について、$v_i$ を $u_j$ の線形結合で表す。

1. 問題の内容

与えられたベクトル $v_1, v_2, \dots, v_n$ を、ベクトル $u_1, u_2, \dots, u_m$ の線形結合として表現する。具体的には、(a), (b), (c) それぞれの場合について、$v_i$ を $u_j$ の線形結合で表す。

2. 解き方の手順

(a) $v_1 = 2u_1 + u_2 - 3u_3$, $v_2 = u_1 - u_2 + u_3$, $v_3 = u_1 + 2u_2 + 4u_3$

この場合、$v_1, v_2, v_3$ は $u_1, u_2, u_3$ の線形結合で直接表現されているので、これが行列表示となる。行列 $A$ を用いて表現すると、

$\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix}$

(b) $v_1 = 2u_1 + u_2 - u_3 - u_4$, $v_2 = u_1 - u_2 + 2u_3 + u_4$, $v_3 = u_1 - u_2 + u_3 - u_4$, $v_4 = 2u_1 + u_2 - 2u_3 - 3u_4$

この場合も、$v_1, v_2, v_3, v_4$ は $u_1, u_2, u_3, u_4$ の線形結合で直接表現されている。行列 $B$ を用いて表現すると、

$\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \end{bmatrix}$

(c) $v_1 = u_1 + u_2 - u_3 - 2u_5$, $v_2 = 2u_1 - u_2 + u_3 - u_4 + u_5$, $v_3 = 2u_1 - u_3 + u_4 - 3u_5$, $v_4 = u_1 + u_2 - 3u_4 - 2u_5$

この場合も、$v_1, v_2, v_3, v_4$ は $u_1, u_2, u_3, u_4, u_5$ の線形結合で直接表現されている。行列 $C$ を用いて表現すると、

$\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 0 & -3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ u_5 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(a) $\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix}$

(b) $\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \end{bmatrix}$

(c) $\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 0 & -3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ u_5 \end{bmatrix}$