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与えられた4つの変数 $x_1, x_2, x_3, x_4$ に関する連立一次方程式が解を持つような実数 $a$ の値を求め、そのときの解を求める。連立一次方程式は以下の通り。 $ \begin{cases} 2x_1 + 3x_2 + x_3 + x_4 = a \\ x_1 - x_2 + 2x_3 + 6x_4 = -1 \\ -x_1 + x_3 + x_4 = -3 \\ 3x_1 + x_2 + 2x_4 = a + 1 \end{cases} $

代数学連立一次方程式行列線形代数解の存在条件
2025/6/17

1. 問題の内容

与えられた4つの変数 x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4 に関する連立一次方程式が解を持つような実数 aa の値を求め、そのときの解を求める。連立一次方程式は以下の通り。
\begin{cases}
2x_1 + 3x_2 + x_3 + x_4 = a \\
x_1 - x_2 + 2x_3 + 6x_4 = -1 \\
-x_1 + x_3 + x_4 = -3 \\
3x_1 + x_2 + 2x_4 = a + 1
\end{cases}

2. 解き方の手順

与えられた連立一次方程式を行列で表現し、拡大係数行列を作成する。
\begin{pmatrix}
2 & 3 & 1 & 1 & | & a \\
1 & -1 & 2 & 6 & | & -1 \\
-1 & 0 & 1 & 1 & | & -3 \\
3 & 1 & 0 & 2 & | & a+1
\end{pmatrix}
行基本変形を行い、階段行列に変形する。
まず、1行目と2行目を入れ替える。
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 2 & 6 & | & -1 \\
2 & 3 & 1 & 1 & | & a \\
-1 & 0 & 1 & 1 & | & -3 \\
3 & 1 & 0 & 2 & | & a+1
\end{pmatrix}
2行目に -2*1行目を足す。3行目に1行目を足す。4行目に -3*1行目を足す。
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 2 & 6 & | & -1 \\
0 & 5 & -3 & -11 & | & a+2 \\
0 & -1 & 3 & 7 & | & -4 \\
0 & 4 & -6 & -16 & | & a+4
\end{pmatrix}
3行目に -1をかける。
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 2 & 6 & | & -1 \\
0 & 5 & -3 & -11 & | & a+2 \\
0 & 1 & -3 & -7 & | & 4 \\
0 & 4 & -6 & -16 & | & a+4
\end{pmatrix}
2行目と3行目を入れ替える。
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 2 & 6 & | & -1 \\
0 & 1 & -3 & -7 & | & 4 \\
0 & 5 & -3 & -11 & | & a+2 \\
0 & 4 & -6 & -16 & | & a+4
\end{pmatrix}
3行目に -5*2行目を足す。4行目に -4*2行目を足す。
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 2 & 6 & | & -1 \\
0 & 1 & -3 & -7 & | & 4 \\
0 & 0 & 12 & 24 & | & a-18 \\
0 & 0 & 6 & 12 & | & a-12
\end{pmatrix}
4行目に -1/2 * 3行目を足す。
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 2 & 6 & | & -1 \\
0 & 1 & -3 & -7 & | & 4 \\
0 & 0 & 12 & 24 & | & a-18 \\
0 & 0 & 0 & 0 & | & (a-12) - 1/2 * (a-18)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 2 & 6 & | & -1 \\
0 & 1 & -3 & -7 & | & 4 \\
0 & 0 & 12 & 24 & | & a-18 \\
0 & 0 & 0 & 0 & | & a-12 - \frac{1}{2}a + 9
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 2 & 6 & | & -1 \\
0 & 1 & -3 & -7 & | & 4 \\
0 & 0 & 12 & 24 & | & a-18 \\
0 & 0 & 0 & 0 & | & \frac{1}{2}a - 3
\end{pmatrix}
連立一次方程式が解を持つためには、12a−3=0\frac{1}{2}a - 3 = 0 である必要がある。
よって、a=6a = 6。
a=6a=6 のとき、連立一次方程式は
\begin{cases}
2x_1 + 3x_2 + x_3 + x_4 = 6 \\
x_1 - x_2 + 2x_3 + 6x_4 = -1 \\
-x_1 + x_3 + x_4 = -3 \\
3x_1 + x_2 + 2x_4 = 7
\end{cases}
拡大係数行列は
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 2 & 6 & | & -1 \\
0 & 1 & -3 & -7 & | & 4 \\
0 & 0 & 12 & 24 & | & -12 \\
0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
\end{pmatrix}
変形して
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 2 & 6 & | & -1 \\
0 & 1 & -3 & -7 & | & 4 \\
0 & 0 & 1 & 2 & | & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & | & 0
\end{pmatrix}
x4=tx_4 = t とおくと
x3=−1−2tx_3 = -1 - 2t
x2=4+3x3+7x4=4+3(−1−2t)+7t=4−3−6t+7t=1+tx_2 = 4 + 3x_3 + 7x_4 = 4 + 3(-1-2t) + 7t = 4 -3 -6t + 7t = 1 + t
x1=−1+x2−2x3−6x4=−1+(1+t)−2(−1−2t)−6t=−1+1+t+2+4t−6t=2−tx_1 = -1 + x_2 - 2x_3 - 6x_4 = -1 + (1+t) - 2(-1-2t) - 6t = -1 + 1+t +2 +4t -6t = 2 -t

3. 最終的な答え

a=6a = 6 のとき解を持ち、解は
x1=2−t,x2=1+t,x3=−1−2t,x4=tx_1 = 2-t, x_2 = 1+t, x_3 = -1-2t, x_4 = t （ttは任意の実数）

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