$V = \mathbb{R}^3$ の部分集合 $L = \{\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 - x_2 + x_3 = 0 \}$ が $V = \mathbb{R}^3$ の部分空間であるかどうかを調べます。

1. 問題の内容

$V = \mathbb{R}^3$ の部分集合 $L = \{\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 - x_2 + x_3 = 0 \}$ が $V = \mathbb{R}^3$ の部分空間であるかどうかを調べます。

2. 解き方の手順

部分空間であることを示すには、以下の3つの条件を満たすことを示す必要があります。

(1) ゼロベクトルが含まれる。

(2) スカラー倍で閉じる。

(3) 和で閉じる。

(1) ゼロベクトルが含まれること

$x_1 = 0, x_2 = 0, x_3 = 0$ のとき、$x_1 - x_2 + x_3 = 0 - 0 + 0 = 0$ となり、$L$ の条件を満たすため、ゼロベクトル $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ は $L$ に含まれます。

(2) スカラー倍で閉じること

任意のベクトル $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in L$ と、任意のスカラー $c \in \mathbb{R}$ を考えます。

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in L$ より、$x_1 - x_2 + x_3 = 0$ が成り立ちます。

$c \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cx_1 \\ cx_2 \\ cx_3 \end{bmatrix}$ が $L$ に含まれるかどうかを調べます。

$cx_1 - cx_2 + cx_3 = c(x_1 - x_2 + x_3) = c(0) = 0$ となり、$L$ の条件を満たすため、$c \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in L$ です。よって、スカラー倍で閉じています。

(3) 和で閉じること

任意のベクトル $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in L$ と $\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} \in L$ を考えます。

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \in L$ より、$x_1 - x_2 + x_3 = 0$ が成り立ちます。

$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} \in L$ より、$y_1 - y_2 + y_3 = 0$ が成り立ちます。

$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ x_3 + y_3 \end{bmatrix}$ が $L$ に含まれるかどうかを調べます。

$(x_1 + y_1) - (x_2 + y_2) + (x_3 + y_3) = (x_1 - x_2 + x_3) + (y_1 - y_2 + y_3) = 0 + 0 = 0$ となり、$L$ の条件を満たすため、$\begin{bmatrix} x_1 + y_1 \\ x_2 + y_2 \\ x_3 + y_3 \end{bmatrix} \in L$ です。よって、和で閉じています。

以上より、$L$ は $\mathbb{R}^3$ の部分空間です。

3. 最終的な答え

$L$ は $V = \mathbb{R}^3$ の部分空間である。