与えられた式 $ \frac{2x-1}{(x+1)(x+2)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+2} $ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$ と $b$ の値を定める。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{2x-1}{(x+1)(x+2)} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+2}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a$ と $b$ の値を定める。

2. 解き方の手順

まず、右辺を通分します。

$$\frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+2} = \frac{a(x+2) + b(x+1)}{(x+1)(x+2)}$$

したがって、与えられた式は

$$\frac{2x-1}{(x+1)(x+2)} = \frac{a(x+2) + b(x+1)}{(x+1)(x+2)}$$

分母が等しいので、分子も等しくなければなりません。つまり

$$2x-1 = a(x+2) + b(x+1)$$

この式が恒等式であるためには、$x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。

$$2x - 1 = ax + 2a + bx + b = (a+b)x + (2a+b)$$

したがって、以下の連立方程式が得られます。

$$a + b = 2$$

$$2a + b = -1$$

この連立方程式を解きます。2番目の式から1番目の式を引くと

$$(2a+b) - (a+b) = -1 - 2$$

$$a = -3$$

$a=-3$ を $a+b=2$ に代入すると

$$-3 + b = 2$$

$$b = 5$$

3. 最終的な答え

$a = -3$

$b = 5$