$a, b$ は実数とする。複素数 $z = a + bi$ の共役複素数を $\bar{z} = a - bi$ と表すとき、$\overline{(\frac{w}{z})} = \frac{\bar{w}}{\bar{z}}$ を示す。

1. 問題の内容

$a, b$ は実数とする。複素数 $z = a + bi$ の共役複素数を $\bar{z} = a - bi$ と表すとき、$\overline{(\frac{w}{z})} = \frac{\bar{w}}{\bar{z}}$ を示す。

2. 解き方の手順

$w = c + di$ (c, dは実数)とおく。

$\overline{(\frac{w}{z})} = \frac{\bar{w}}{\bar{z}}$ を示す。

まず、$\frac{w}{z}$ を計算する。

$\frac{w}{z} = \frac{c+di}{a+bi}$

分母を実数化するために、分母と分子に $a - bi$ を掛ける。

$\frac{w}{z} = \frac{(c+di)(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)} = \frac{ac + bd + (ad - bc)i}{a^2 + b^2}$

$\frac{w}{z} = \frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + \frac{ad - bc}{a^2 + b^2}i$

次に、$\overline{(\frac{w}{z})}$ を計算する。

$\overline{(\frac{w}{z})} = \frac{ac + bd}{a^2 + b^2} - \frac{ad - bc}{a^2 + b^2}i$

次に、$\frac{\bar{w}}{\bar{z}}$ を計算する。

$\bar{w} = c - di$、$\bar{z} = a - bi$ である。

$\frac{\bar{w}}{\bar{z}} = \frac{c - di}{a - bi}$

分母を実数化するために、分母と分子に $a + bi$ を掛ける。

$\frac{\bar{w}}{\bar{z}} = \frac{(c-di)(a+bi)}{(a-bi)(a+bi)} = \frac{ac + bd + (bc - ad)i}{a^2 + b^2}$

$\frac{\bar{w}}{\bar{z}} = \frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + \frac{bc - ad}{a^2 + b^2}i = \frac{ac + bd}{a^2 + b^2} - \frac{ad - bc}{a^2 + b^2}i$

したがって、$\overline{(\frac{w}{z})} = \frac{\bar{w}}{\bar{z}}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\overline{(\frac{w}{z})} = \frac{\bar{w}}{\bar{z}}$