等式 $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

等式 $\frac{1}{x(x+1)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x+1}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた等式の右辺を通分します。

$\frac{a}{x} + \frac{b}{x+1} = \frac{a(x+1) + bx}{x(x+1)} = \frac{(a+b)x + a}{x(x+1)}$

したがって、等式は次のようになります。

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{(a+b)x + a}{x(x+1)}$

これが $x$ についての恒等式であるためには、分子が等しくなければなりません。

よって、

$1 = (a+b)x + a$

この式が任意の $x$ に対して成り立つためには、$x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。

したがって、

$a+b = 0$

$a = 1$

これらの連立方程式を解きます。

$a = 1$ を $a+b = 0$ に代入すると、

$1 + b = 0$

$b = -1$

3. 最終的な答え

$a = 1$

$b = -1$