一辺の長さが3の正四面体ABCDにおいて、辺CDを1:2に分ける点をEとする。点Dから平面EABに下ろした垂線をDHとする。 (1) 正四面体ABCDの体積Vを求める。 (2) 三角形EABの面積Sを求める。 (3) 線分DHの長さを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが3の正四面体ABCDにおいて、辺CDを1:2に分ける点をEとする。点Dから平面EABに下ろした垂線をDHとする。

(1) 正四面体ABCDの体積Vを求める。

(2) 三角形EABの面積Sを求める。

(3) 線分DHの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 正四面体ABCDの体積V

正四面体の体積の公式を使う。一辺の長さを$a$とすると、$V = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3$である。

$a = 3$なので、

$V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 3^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 27 = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

(2) 三角形EABの面積S

まず、AEとBEの長さを求める。三角形AEDにおいて、AEの長さを求める。余弦定理より、

$AE^2 = AD^2 + DE^2 - 2 \times AD \times DE \times \cos(\frac{\pi}{3})$

$AE^2 = 3^2 + 1^2 - 2 \times 3 \times 1 \times \frac{1}{2}$

$AE^2 = 9 + 1 - 3 = 7$

$AE = \sqrt{7}$

同様に、三角形BECにおいて、BEの長さを求める。余弦定理より、

$BE^2 = BC^2 + CE^2 - 2 \times BC \times CE \times \cos(\frac{\pi}{3})$

$BE^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \times 3 \times 2 \times \frac{1}{2}$

$BE^2 = 9 + 4 - 6 = 7$

$BE = \sqrt{7}$

したがって、三角形EABは二等辺三角形である。次に、ヘロンの公式を用いる。$a=3, b=\sqrt{7}, c=\sqrt{7}$なので、$s = \frac{3 + \sqrt{7} + \sqrt{7}}{2} = \frac{3 + 2\sqrt{7}}{2}$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{3+2\sqrt{7}}{2}(\frac{3+2\sqrt{7}}{2}-3)(\frac{3+2\sqrt{7}}{2}-\sqrt{7})(\frac{3+2\sqrt{7}}{2}-\sqrt{7})}$

$S = \sqrt{\frac{3+2\sqrt{7}}{2}(\frac{-3+2\sqrt{7}}{2})(\frac{3}{2})(\frac{3}{2})}$

$S = \frac{3}{4}\sqrt{(2\sqrt{7}+3)(2\sqrt{7}-3)} = \frac{3}{4}\sqrt{28-9} = \frac{3}{4}\sqrt{19}$

(3) 線分DHの長さ

正四面体ABCDの体積Vは、$V = \frac{1}{3} \times S \times DH$で表せる。

$\frac{9\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{3} \times \frac{3\sqrt{19}}{4} \times DH$

$DH = \frac{9\sqrt{2}}{\frac{3}{3}\sqrt{19}} = \frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{19}} = \frac{9\sqrt{38}}{19}$

3. 最終的な答え

(1) 正四面体ABCDの体積V: $\frac{9\sqrt{2}}{4}$

(2) 三角形EABの面積S: $\frac{3\sqrt{19}}{4}$

(3) 線分DHの長さ: $\frac{9\sqrt{38}}{19}$