三角形ABCにおいて、$AB=5$, $AC=7$, $\angle BAC = 60^\circ$である。 (1) 三角形ABCの外接円の半径$R$を求めよ。 (2) $\angle BAC$の二等分線と辺BCの交点をD, 三角形ABCの外接円の中心をOとする。 (i) 線分BDの長さを求めよ。 (ii) 線分ODの長さを求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に回答します。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB=5$, $AC=7$, $\angle BAC = 60^\circ$である。

(1) 三角形ABCの外接円の半径$R$を求めよ。

(2) $\angle BAC$の二等分線と辺BCの交点をD, 三角形ABCの外接円の中心をOとする。

(i) 線分BDの長さを求めよ。

(ii) 線分ODの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 外接円の半径Rを求める。

まず、余弦定理を用いて辺BCの長さを求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}$

$BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos{60^\circ}$

$BC^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 74 - 35 = 39$

$BC = \sqrt{39}$

次に、正弦定理を用いて外接円の半径Rを求める。

$\frac{BC}{\sin{\angle BAC}} = 2R$

$\frac{\sqrt{39}}{\sin{60^\circ}} = 2R$

$\frac{\sqrt{39}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$\frac{2\sqrt{39}}{\sqrt{3}} = 2R$

$R = \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{39}{3}} = \sqrt{13}$

(2) (i) 線分BDの長さを求める。

角の二等分線の定理より、$BD:DC = AB:AC = 5:7$

よって、$BD = \frac{AB}{AB+AC} BC = \frac{5}{5+7} \sqrt{39} = \frac{5}{12} \sqrt{39}$

(2) (ii) 線分ODの長さを求める。

Oは外心であり、$OA = OB = OC = R = \sqrt{13}$である。

$\angle BAD = \angle CAD = 30^\circ$である。

また、弧BCに対する円周角$\angle BAC = 60^\circ$なので、中心角$\angle BOC = 2\angle BAC = 120^\circ$である。

$\triangle OBD$において、余弦定理を用いる。

$OD^2 = OB^2 + BD^2 - 2 OB \cdot BD \cos{\angle OBD}$

$\angle OBC = \frac{1}{2} (180^\circ - 120^\circ) = 30^\circ$.

$\angle DBC = \angle ABC$. 余弦定理より、$cos B = \frac{5^2 + 39 - 7^2}{2*5*sqrt(39)} = \frac{-5}{10 sqrt(39)} = \frac{-1}{2\sqrt{39}}$

$\angle OBD = \angle OBC + \angle CBD$. $\angle CBD$ is not $30^\circ$.

三角形OBCは二等辺三角形なので、OからBCに垂線を下ろすと、BCの中点になる。

$\angle BOD = \angle BOC / 2 = 60^\circ$.

ODの中点をMとすると、OD⊥BC.

線分ODを求める別の方法を考えます。

$\angle BAD = 30^\circ$

線分CDの長さは$CD = BC - BD = \sqrt{39} - \frac{5}{12}\sqrt{39} = \frac{7}{12}\sqrt{39}$

$\angle BOC = 120^\circ$, $\angle OBC = \angle OCB = 30^\circ$

$\triangle OBC$において、OからBCに垂線を下ろすと、BCの中点になる。その垂線の足をMとする。$BM = MC = \frac{\sqrt{39}}{2}$.

$OM = OB \cos 30^\circ = \sqrt{13} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{39}}{2}$.

$MD = BM - BD = \frac{\sqrt{39}}{2} - \frac{5}{12}\sqrt{39} = \frac{1}{12}\sqrt{39}$

$OD = \sqrt{OM^2 + MD^2} = \sqrt{(\frac{\sqrt{39}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{39}}{12})^2} = \sqrt{\frac{39}{4} + \frac{39}{144}} = \sqrt{\frac{39}{4} (1 + \frac{1}{36})} = \sqrt{\frac{39}{4} \cdot \frac{37}{36}} = \frac{\sqrt{39}}{2} \cdot \frac{\sqrt{37}}{6} = \frac{\sqrt{1443}}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $R = \sqrt{13}$

(2) (i) $BD = \frac{5\sqrt{39}}{12}$

(2) (ii) $OD = \frac{\sqrt{1443}}{12}$