与えられた2つの不定方程式について、整数解 $x, y$ の組をすべて求める問題です。 (1) $13x - 7y = 1$ (2) $126x + 275y = 1$

1. 問題の内容

与えられた2つの不定方程式について、整数解 $x, y$ の組をすべて求める問題です。

(1) $13x - 7y = 1$

(2) $126x + 275y = 1$

2. 解き方の手順

(1) $13x - 7y = 1$ の場合:

まず、特殊解を求める。

$13 = 7 \times 1 + 6$

$7 = 6 \times 1 + 1$

したがって、

$1 = 7 - 6 \times 1 = 7 - (13 - 7 \times 1) \times 1 = 7 - 13 + 7 = 7 \times 2 - 13 \times 1$

よって、$13 \times (-1) - 7 \times (-2) = 1$ であるから、$x = -1, y = -2$ が特殊解の一つである。

次に、一般解を求める。

$13x - 7y = 1$

$13(-1) - 7(-2) = 1$

辺々引くと

$13(x+1) - 7(y+2) = 0$

$13(x+1) = 7(y+2)$

13と7は互いに素なので、$x+1 = 7k$, $y+2 = 13k$ ($k$は整数)と表せる。

$x = 7k - 1$

$y = 13k - 2$

(2) $126x + 275y = 1$ の場合:

まず、特殊解を求める。

$275 = 126 \times 2 + 23$

$126 = 23 \times 5 + 11$

$23 = 11 \times 2 + 1$

したがって、

$1 = 23 - 11 \times 2 = 23 - (126 - 23 \times 5) \times 2 = 23 - 126 \times 2 + 23 \times 10 = 23 \times 11 - 126 \times 2 = (275 - 126 \times 2) \times 11 - 126 \times 2 = 275 \times 11 - 126 \times 22 - 126 \times 2 = 275 \times 11 - 126 \times 24$

よって、$126 \times (-24) + 275 \times 11 = 1$ であるから、$x = -24, y = 11$ が特殊解の一つである。

次に、一般解を求める。

$126x + 275y = 1$

$126(-24) + 275(11) = 1$

辺々引くと

$126(x+24) + 275(y-11) = 0$

$126(x+24) = -275(y-11)$

126と275は互いに素なので、$x+24 = 275k$, $y-11 = -126k$ ($k$は整数)と表せる。

$x = 275k - 24$

$y = -126k + 11$

3. 最終的な答え

(1) $x = 7k - 1$, $y = 13k - 2$ ($k$ は整数)

(2) $x = 275k - 24$, $y = -126k + 11$ ($k$ は整数)