YOKOHAMAの8文字を1列に並べる。 (1) OとAが必ず偶数番目にあるものは何通りあるか。 (2) Y, K, H, Mがこの順にあるものは何通りあるか。

1. 問題の内容

YOKOHAMAの8文字を1列に並べる。

(1) OとAが必ず偶数番目にあるものは何通りあるか。

(2) Y, K, H, Mがこの順にあるものは何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

YOKOHAMAの8文字のうち、偶数番目の位置は4つある。OとAをそれらの4つの位置に入れる方法を考える。Oが2つあるため、OとAの配置を考える必要がある。

まず、4つの偶数番目の位置からOとAを入れる2つの位置を選ぶ。これは$_4 C_2$通りある。選んだ2つの位置にO, Aを配置する方法は2!通り。残りの2つの偶数番目の位置にOを入れる方法は1通り。

残りの4つの文字Y, K, H, Mを奇数番目の位置に入れる方法は4!通り。

したがって、OとAが必ず偶数番目にある並べ方は、

$_4 C_2 \times \frac{2!}{1!1!} \times 4! = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 2 \times 24 = 6 \times 2 \times 24 = 288$通り

画像を参考にすると、O,Aが入る場所を選ぶ部分は${4! \over 2! 2!}$で計算されている。

これは４箇所から２箇所選ぶ際に、同じOがあるため、同じものを含む順列として計算している。$_4 C_2 = {4! \over (4-2)! 2!} = {4! \over 2! 2!} = 6$

(2)

YOKOHAMAの8文字を並べる総数は、同じ文字Oが2つ、Aが1つ、Hが1つ、Kが1つ、Mが1つ、Yが1つあるので、$\frac{8!}{2!}$通り。

Y, K, H, Mの順番が固定されているので、この4文字の並び順を考慮する必要はない。この4文字を同じ文字□で置き換えることを考える。すると、□□OOHAという6文字を並べることになる。並べ方は $\frac{6!}{2!}$通り。

したがって、Y, K, H, Mがこの順にあるものは、$\frac{8!}{2!4!}$通りとなる。

$\frac{8!}{2!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{2} = 8 \times 7 \times 3 \times 5 = 840$通り

3. 最終的な答え

(1) 288通り

(2) 840通り