異なる色の9個の玉を、指定された個数に分けて組を作る場合の数を求める問題です。 (1) 4個、3個、2個の3つの組に分ける (2) A, B, Cの3つの組に、3個ずつ分ける (3) 3個ずつの3つの組に分ける (4) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける

1. 問題の内容

異なる色の9個の玉を、指定された個数に分けて組を作る場合の数を求める問題です。

(1) 4個、3個、2個の3つの組に分ける

(2) A, B, Cの3つの組に、3個ずつ分ける

(3) 3個ずつの3つの組に分ける

(4) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける

2. 解き方の手順

(1) 4個、3個、2個の組に分ける場合

まず9個から4個を選び、次に残りの5個から3個を選び、最後に残った2個で組を作ります。

よって、組み合わせの数は

$_{9}C_{4} \times _{5}C_{3} \times _{2}C_{2} = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = 126 \times 10 \times 1 = 1260$ 通りです。

(2) A, B, Cの3つの組に3個ずつ分ける場合

まず9個からAの組に入れる3個を選び、次に残りの6個からBの組に入れる3個を選び、最後に残った3個でCの組を作ります。

よって、組み合わせの数は

$_{9}C_{3} \times _{6}C_{3} \times _{3}C_{3} = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = 84 \times 20 \times 1 = 1680$ 通りです。

(3) 3個ずつの3つの組に分ける場合

まず9個から3個を選び、次に残りの6個から3個を選び、最後に残った3個で組を作ります。

ただし、ここでは組に区別がないため、3!で割る必要があります。

よって、組み合わせの数は

$\frac{_{9}C_{3} \times _{6}C_{3} \times _{3}C_{3}}{3!} = \frac{84 \times 20 \times 1}{6} = \frac{1680}{6} = 280$ 通りです。

(4) 2個、2個、2個、3個の4つの組に分ける場合

まず9個から3個を選び、残りの6個から2個を選び、次に残りの4個から2個を選び、最後に残った2個から2個を選びます。

ただし、2個の組が3つあるので、3!で割る必要があります。

よって、組み合わせの数は

$\frac{_{9}C_{3} \times _{6}C_{2} \times _{4}C_{2} \times _{2}C_{2}}{3!} = \frac{84 \times 15 \times 6 \times 1}{6} = 84 \times 15 = 1260$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 1260通り

(2) 1680通り

(3) 280通り

(4) 1260通り