白玉1個、赤玉2個、青玉4個がある。 (1) これらを机の上に円形に並べる方法は何通りあるか。 (2) これらで何通りの首飾りが作れるか。

1. 問題の内容

白玉1個、赤玉2個、青玉4個がある。

(1) これらを机の上に円形に並べる方法は何通りあるか。

(2) これらで何通りの首飾りが作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 円順列の問題

白玉を固定して考えると、残りの赤玉2個と青玉4個の並べ方を考えればよい。

残りの玉は合計6個なので、6個の玉を並べる順列を考える。ただし、赤玉2個と青玉4個は区別しないので、同じものを含む順列の公式を用いる。

並べ方は、

$\frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ 通り。

(2) じゅず順列（首飾り）の問題

円順列の場合の数を2で割ればよい。

ただし、左右対称な並び方の場合、2で割ると重複して数えることになるため、場合分けが必要になる。

円順列の15通りの中に、左右対称なものがいくつあるかを考える。

左右対称であるためには、白玉を基準として左右に並ぶ玉の構成が同じである必要がある。赤玉は2個なので左右に1個ずつ置く必要がある。すると青玉は4個なので左右に2個ずつ置くことになる。

よって左右対称な並べ方は、赤、青青の並びなので、1通りである。

対称でない並べ方は、15 - 1 = 14通り。

対称でない並べ方を裏返すと、同じものができるので、14 ÷ 2 = 7通り。

対称な並べ方は1通り。

したがって、全体の並べ方は、7 + 1 = 8通り。

3. 最終的な答え

(1) 15通り

(2) 8通り