8人の生徒を、(1) 4つの部屋P, Q, R, Sに2人ずつ入れる場合、(2) 2人ずつの4つの組に分ける場合、それぞれの場合の分け方を求めます。また、7人の生徒を2人、2人、3人の3つの組に分ける方法を求めます。

はい、承知いたしました。問題文を理解し、以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

8人の生徒を、(1) 4つの部屋P, Q, R, Sに2人ずつ入れる場合、(2) 2人ずつの4つの組に分ける場合、それぞれの場合の分け方を求めます。また、7人の生徒を2人、2人、3人の3つの組に分ける方法を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 4つの部屋P, Q, R, Sに2人ずつ入れる場合：

まず、8人から部屋Pに入れる2人を選ぶ組み合わせは $_8 C_2$通り。

次に、残りの6人から部屋Qに入れる2人を選ぶ組み合わせは $_6 C_2$通り。

さらに、残りの4人から部屋Rに入れる2人を選ぶ組み合わせは $_4 C_2$通り。

最後に、残りの2人は部屋Sに入るので $_2 C_2 = 1$通り。

したがって、合計の組み合わせは $_8 C_2 \times _6 C_2 \times _4 C_2 \times _2 C_2$通りとなります。

$_8 C_2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

$_6 C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

$_4 C_2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

$_2 C_2 = 1$

よって、 $28 \times 15 \times 6 \times 1 = 2520$通り

(2) 2人ずつの4つの組に分ける場合：

(1)で部屋の区別がある場合を考えましたが、今回は区別がないので、同じ組み合わせを重複して数えていることになります。2人ずつの4つの組は区別がないため、4つの組の並び順(4!)で割る必要があります。しかし、それぞれの組の人数が同じなので、$4!$ではなく、$2! \times 2! \times 2! \times 2!$で割る必要があります。今回の問題では、$4!$で割ることになります。

組み合わせは $\frac{_8 C_2 \times _6 C_2 \times _4 C_2 \times _2 C_2}{4!} = \frac{2520}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{2520}{24} = 105$通り

7人の生徒を2人、2人、3人の3つの組に分ける場合：

まず、7人から最初の2人を選ぶ組み合わせは $_7 C_2$通り。

次に、残りの5人から次の2人を選ぶ組み合わせは $_5 C_2$通り。

最後に、残りの3人は3人の組に入るので $_3 C_3 = 1$通り。

ただし、2人の組は区別しないので2!で割る必要がある。

したがって、合計の組み合わせは $\frac{_7 C_2 \times _5 C_2 \times _3 C_3}{2!}$通りとなります。

$_7 C_2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

$_5 C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$_3 C_3 = 1$

よって、 $\frac{21 \times 10 \times 1}{2} = \frac{210}{2} = 105$通り

3. 最終的な答え

(1) 2520通り

(2) 105通り

7人の生徒を2人、2人、3人の組に分ける方法は105通り