4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とします。次の条件を満たす $n$ は全部で何個あるかを求める問題です。 (1) $a > b > c > d$ (2) $a \ge b > c > d$

1. 問題の内容

4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とします。次の条件を満たす $n$ は全部で何個あるかを求める問題です。

(1) $a > b > c > d$

(2) $a \ge b > c > d$

2. 解き方の手順

(1) $a > b > c > d$ の場合：

0から9までの10個の数字の中から異なる4個を選び、大きい順に $a, b, c, d$ に割り当てれば条件を満たす4桁の整数が1つ決まります。したがって、求める個数は $_{10}C_4$ で計算できます。

$_{10}C_4 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$ 個

(2) $a \ge b > c > d$ の場合：

$a > b > c > d$ の場合と、$a = b > c > d$ の場合に分けて考えます。

$a > b > c > d$ の場合は、(1)で計算したように210個です。

$a = b > c > d$ の場合：

0から9までの10個の数字の中から異なる3個を選び、大きい順に $a=b, c, d$ に割り当てれば条件を満たす4桁の整数が1つ決まります。したがって、求める個数は $_{10}C_3$ で計算できます。

$_{10}C_3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$ 個

したがって、$a \ge b > c > d$ を満たす $n$ の個数は、210 + 120 = 330 個です。

3. 最終的な答え

(1) 210個

(2) 330個