12人を以下の2つの方法で分ける場合の数を求める問題です。 (1) 12人をA, B, Cの3つの部屋に、4人ずつ分ける方法の数を求めます。 (2) 12人を4人ずつの3つの組に分ける方法の数を求めます。

1. 問題の内容

12人を以下の2つの方法で分ける場合の数を求める問題です。

(1) 12人をA, B, Cの3つの部屋に、4人ずつ分ける方法の数を求めます。

(2) 12人を4人ずつの3つの組に分ける方法の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、12人の中からAの部屋に入れる4人を選ぶ組み合わせは、$_{12}C_4$通りです。

次に、残りの8人の中からBの部屋に入れる4人を選ぶ組み合わせは、$_8C_4$通りです。

最後に、残りの4人はCの部屋に入ることになるので、選び方は$_4C_4 = 1$通りです。

したがって、A, B, Cの部屋に4人ずつ分ける方法は、

$_{12}C_4 \times {}_8C_4 \times {}_4C_4$通りです。

これを計算すると、

$_{12}C_4 = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$

$_8C_4 = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

$_4C_4 = 1$

よって、 $495 \times 70 \times 1 = 34650$通りです。

(2)

12人を4人ずつの3つの組に分ける方法は、まず12人の中から4人を選び、次に残りの8人の中から4人を選び、最後に残りの4人を選ぶ組み合わせを考えます。

これは、$_{12}C_4 \times {}_8C_4 \times {}_4C_4$通りですが、(1)と異なり、組には区別がないため、3つの組の並び順を考慮する必要がありません。つまり、3!で割る必要があります。

したがって、4人ずつの3つの組に分ける方法は、

$\frac{{}_{12}C_4 \times {}_8C_4 \times {}_4C_4}{3!} = \frac{495 \times 70 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = \frac{34650}{6} = 5775$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 34650通り

(2) 5775通り