$\lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan x}{x - \sin x}$ を計算せよ。この極限が2に等しいことを示す問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan x}{x - \sin x}$ を計算せよ。この極限が2に等しいことを示す問題です。

2. 解き方の手順

この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

まず、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(x - \arctan x) = 1 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{1+x^2 - 1}{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2}$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(x - \sin x) = 1 - \cos x$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan x}{x - \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{1+x^2}}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{(1+x^2)(1 - \cos x)}$

この極限も $\frac{0}{0}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{(1+x^2)(1 - \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1-\cos x + x^2 - x^2\cos x}$

分子の微分: $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(1-\cos x + x^2 - x^2\cos x) = \sin x + 2x - (2x\cos x + x^2(-\sin x)) = \sin x + 2x - 2x\cos x + x^2\sin x$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{1-\cos x + x^2 - x^2\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin x + 2x - 2x\cos x + x^2\sin x}$

この極限も $\frac{0}{0}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を適用します。

分子の微分: $\frac{d}{dx}(2x) = 2$

分母の微分: $\frac{d}{dx}(\sin x + 2x - 2x\cos x + x^2\sin x) = \cos x + 2 - 2(\cos x - x\sin x) + (2x\sin x + x^2\cos x) = \cos x + 2 - 2\cos x + 2x\sin x + 2x\sin x + x^2\cos x = 2 - \cos x + 4x\sin x + x^2\cos x$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin x + 2x - 2x\cos x + x^2\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{2 - \cos x + 4x\sin x + x^2\cos x} = \frac{2}{2 - 1 + 0 + 0} = \frac{2}{1} = 2$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan x}{x - \sin x} = 2$