次の不定積分を計算します。 $\int \frac{\sin x \cos^2 x}{1 + \cos x} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{\sin x \cos^2 x}{1 + \cos x} dx$

2. 解き方の手順

まず、$\cos x = t$ と置換すると、$\sin x dx = -dt$ となります。

よって、積分は次のようになります。

$\int \frac{\sin x \cos^2 x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{t^2}{1 + t} (-dt) = - \int \frac{t^2}{1 + t} dt$

ここで、被積分関数を部分分数分解します。

$t^2 = (t+1)(t-1) + 1$ であるから、$\frac{t^2}{1+t} = \frac{(t+1)(t-1) + 1}{1+t} = t-1 + \frac{1}{1+t}$

したがって、積分は次のようになります。

$- \int \frac{t^2}{1 + t} dt = -\int (t - 1 + \frac{1}{1 + t}) dt = -\int t dt + \int 1 dt - \int \frac{1}{1 + t} dt$

各項を積分すると、次のようになります。

$-\int t dt = -\frac{t^2}{2}$

$\int 1 dt = t$

$-\int \frac{1}{1 + t} dt = -\log |1 + t|$

したがって、

$-\int \frac{t^2}{1 + t} dt = -\frac{t^2}{2} + t - \log |1 + t| + C$

ここで、$t = \cos x$ を代入すると、

$-\frac{\cos^2 x}{2} + \cos x - \log |1 + \cos x| + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{\sin x \cos^2 x}{1 + \cos x} dx = -\frac{\cos^2 x}{2} + \cos x - \log |1 + \cos x| + C$