与えられた積分を計算します。積分は次の通りです。 $\int \frac{\tan^2 x}{\cos^2 x} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は次の通りです。

$\int \frac{\tan^2 x}{\cos^2 x} dx$

2. 解き方の手順

積分を計算するために、まず被積分関数を整理します。

$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ なので、

$\frac{\tan^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x \sec^2 x$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \tan^2 x \sec^2 x dx$

ここで、置換積分を行います。

$u = \tan x$ と置くと、$du = \sec^2 x dx$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int u^2 du$

$u^2$ を積分すると、$\frac{u^3}{3}$ になります。

$\int u^2 du = \frac{u^3}{3} + C$

ここで、$u = \tan x$ を代入すると、次のようになります。

$\frac{\tan^3 x}{3} + C$

3. 最終的な答え

最終的な答えは次の通りです。

$\frac{\tan^3 x}{3} + C$