2重積分 $\iint_D x^2 dxdy$ を、領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 1, x \ge 0\}$ 上で計算する。

1. 問題の内容

2重積分 $\iint_D x^2 dxdy$ を、領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \le 1, x \ge 0\}$ 上で計算する。

2. 解き方の手順

まず、積分領域 $D$ を極座標で表現する。

$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ とすると、$D$ は $E = \{(r, \theta) | 0 \le r \le 1, -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}\}$ で表される。

2重積分を極座標で書き換えると、

$$\iint_D x^2 dxdy = \iint_E (r\cos\theta)^2 r dr d\theta = \int_0^1 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} r^3 \cos^2\theta d\theta dr$$

積分変数を分離し、

$$= \int_0^1 r^3 dr \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta d\theta$$

$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ を用いると、

$$= \int_0^1 r^3 dr \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} d\theta$$

まず $\theta$ について積分すると、

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{2} \left[\theta + \frac{\sin(2\theta)}{2} \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} + 0 - \left(-\frac{\pi}{2} + 0\right) \right] = \frac{\pi}{2}$$

次に $r$ について積分すると、

$$\int_0^1 r^3 dr = \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{4}$$

したがって、

$$\iint_D x^2 dxdy = \frac{1}{4} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{8}$