(1) ベクトル $\vec{a}=(1, 2)$, $\vec{b}=(-2, 3)$, $\vec{c}=(-11, 6)$ について、 (i) $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ となる $m$ と $n$ を求める。 (ii) $(\vec{a}+t\vec{b}) // \vec{c}$ となる $t$ を求める。 (2) 一辺の長さが2の正六角形ABCDEFにおいて、対角線AD, BE, CFの交点をOとする。 (i) $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ を求める。 (ii) 正六角形ABCDEFの内部の点Pが $\vec{PB}+2\vec{PD}+3\vec{PF} = \vec{0}$ を満たすとき、$\vec{OP}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ で表し、$|\vec{OP}|$ を求める。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a}=(1, 2)$, $\vec{b}=(-2, 3)$, $\vec{c}=(-11, 6)$ について、

(i) $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ となる $m$ と $n$ を求める。

(ii) $(\vec{a}+t\vec{b}) // \vec{c}$ となる $t$ を求める。

(2) 一辺の長さが2の正六角形ABCDEFにおいて、対角線AD, BE, CFの交点をOとする。

(i) $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ を求める。

(ii) 正六角形ABCDEFの内部の点Pが $\vec{PB}+2\vec{PD}+3\vec{PF} = \vec{0}$ を満たすとき、$\vec{OP}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ で表し、$|\vec{OP}|$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) (i) $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ より、

$(-11, 6) = m(1, 2) + n(-2, 3) = (m-2n, 2m+3n)$

よって、

$m - 2n = -11$

$2m + 3n = 6$

この連立方程式を解く。一つ目の式を2倍すると $2m-4n=-22$。二つ目の式から引くと$7n=28$なので、$n=4$。一つ目の式に代入すると $m-8=-11$なので、$m=-3$。

(1) (ii) $(\vec{a}+t\vec{b}) // \vec{c}$ より、$\vec{a}+t\vec{b} = k\vec{c}$となる実数 $k$ が存在する。

$(1, 2) + t(-2, 3) = (1-2t, 2+3t) = k(-11, 6) = (-11k, 6k)$

よって、

$1 - 2t = -11k$

$2 + 3t = 6k$

上の式を3倍、下の式を2倍して足すと、

$3 - 6t + 4 + 6t = -33k + 12k$

$7 = -21k$

$k = -\frac{1}{3}$

$2 + 3t = 6(-\frac{1}{3}) = -2$

$3t = -4$

$t = -\frac{4}{3}$

(2) (i) 正六角形の一辺の長さは2なので、$|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = 2$。また、$\angle AOB = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} = 60^\circ$

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}||\vec{OB}|\cos{\angle AOB} = 2 \cdot 2 \cdot \cos{60^\circ} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$

(2) (ii) $\vec{PB}+2\vec{PD}+3\vec{PF} = \vec{0}$ を $\vec{OP}$ で表す。

$\vec{OB}-\vec{OP}+2(\vec{OD}-\vec{OP})+3(\vec{OF}-\vec{OP}) = \vec{0}$

$\vec{OB} + 2\vec{OD} + 3\vec{OF} - 6\vec{OP} = \vec{0}$

$6\vec{OP} = \vec{OB} + 2\vec{OD} + 3\vec{OF}$

$\vec{OD} = -\vec{OA}$、$\vec{OF} = \vec{OB} - \vec{OA}$

$6\vec{OP} = \vec{OB} - 2\vec{OA} + 3(\vec{OB} - \vec{OA})$

$6\vec{OP} = 4\vec{OB} - 5\vec{OA}$

$\vec{OP} = -\frac{5}{6}\vec{OA} + \frac{4}{6}\vec{OB} = -\frac{5}{6}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}$

したがって、$\vec{OP} = -\frac{5}{6}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}$ である。

$\vec{OP} = (-\frac{5}{6}, \frac{2}{3}) = (\frac{-5}{6} , \frac{4}{6})$

$|\vec{OP}|^2 = (\frac{-5}{6})^2 + (\frac{2}{3})^2 = \frac{25}{36} + \frac{16}{36} = \frac{41}{36}$

$|\vec{OP}| = \frac{\sqrt{41}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) (i) $m = -3, n = 4$

(1) (ii) $t = -\frac{4}{3}$

(2) (i) $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 2$

(2) (ii) $\vec{OP} = -\frac{5}{6}\vec{OA} + \frac{2}{3}\vec{OB}$

$|\vec{OP}| = \frac{\sqrt{41}}{6}$