複素数平面上に原点と異なる3点$z_1, z_2, z_3$があり、以下の条件(A), (B), (C)を満たしている。 (A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{\pi}{3}$ (B) 点$z_3$は2点$z_1, z_2$を通る直線に関して原点$0$と反対側にある。 (C) $\triangle z_1 z_2 z_3$は正三角形 このとき、次の問いに答えよ。 (1) $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$とするとき、$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2, \alpha z_2 = rz_1 + sz_2$となる実数$p, q, r, s$をそれぞれ$|z_1|, |z_2|$を用いて表わせ。ただし、$p=0, q=-\frac{|z_1|}{|z_2|}, r=\frac{|z_2|}{|z_1|}, s=1$である。 (2) $z_3 = az_1 + bz_2$となる実数$a, b$をそれぞれ$|z_1|, |z_2|$を用いて表わせ。

1. 問題の内容

複素数平面上に原点と異なる3点$z_1, z_2, z_3$があり、以下の条件(A), (B), (C)を満たしている。

(A) $\arg z_1 = \arg z_2 + \frac{\pi}{3}$

(B) 点$z_3$は2点$z_1, z_2$を通る直線に関して原点$0$と反対側にある。

(C) $\triangle z_1 z_2 z_3$は正三角形

このとき、次の問いに答えよ。

(1) $\alpha = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}$とするとき、$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2, \alpha z_2 = rz_1 + sz_2$となる実数$p, q, r, s$をそれぞれ$|z_1|, |z_2|$を用いて表わせ。ただし、$p=0, q=-\frac{|z_1|}{|z_2|}, r=\frac{|z_2|}{|z_1|}, s=1$である。

(2) $z_3 = az_1 + bz_2$となる実数$a, b$をそれぞれ$|z_1|, |z_2|$を用いて表わせ。

2. 解き方の手順

(2)の解答

条件(B), (C)より、$z_3$は$z_2$を$z_1$のまわりに$\frac{\pi}{3}$回転した点であるから、

$z_3 - z_1 = \alpha (z_2 - z_1)$

$z_3 = \alpha z_2 - \alpha z_1 + z_1$

ここで、(1)の結果を用いると、$\alpha z_1 = pz_1 + qz_2, \alpha z_2 = rz_1 + sz_2$であるから、

$z_3 = rz_1 + sz_2 - (pz_1 + qz_2) + z_1$

$z_3 = rz_1 + sz_2 - pz_1 - qz_2 + z_1$

$z_3 = (r - p + 1)z_1 + (s - q)z_2$

$p=0, q=-\frac{|z_1|}{|z_2|}, r=\frac{|z_2|}{|z_1|}, s=1$を代入すると、

$z_3 = (\frac{|z_2|}{|z_1|} - 0 + 1)z_1 + (1 - (-\frac{|z_1|}{|z_2|}))z_2$

$z_3 = (\frac{|z_2|}{|z_1|} + 1)z_1 + (\frac{|z_1|}{|z_2|} + 1)z_2$

したがって、$a = \frac{|z_2|}{|z_1|} + 1, b = \frac{|z_1|}{|z_2|} + 1$

3. 最終的な答え

$a = \frac{|z_2|}{|z_1|} + 1$

$b = \frac{|z_1|}{|z_2|} + 1$