## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、対角線ACを2:1に内分する点をP、辺CDの中点をQとする。$\vec{BA} = \vec{a}, \vec{BC} = \vec{b}$とする。

(1) 3点B, P, Qが一直線上にあることを証明せよ。

(2) BP:PQを最も簡単な整数の比で表せ。

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2. 解き方の手順

(1) まず、$\vec{BP}$と$\vec{BQ}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$で表す。

点Pは線分ACを2:1に内分するので、

$\vec{AP} = \frac{2}{3}\vec{AC}$

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = -\vec{a} + \vec{b}$ より

$\vec{AP} = \frac{2}{3}(-\vec{a} + \vec{b})$

$\vec{BP} = \vec{BA} + \vec{AP} = \vec{a} + \frac{2}{3}(-\vec{a} + \vec{b})$

$\vec{BP} = \vec{a} - \frac{2}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b}$

次に、$\vec{BQ}$を求める。

点Qは線分CDの中点なので、$\vec{CQ} = \frac{1}{2}\vec{CD} = \frac{1}{2}\vec{BA} = \frac{1}{2}\vec{a}$

$\vec{BQ} = \vec{BC} + \vec{CQ} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b}$

$\vec{BP}$と$\vec{BQ}$が平行であることを示すために、$\vec{BQ} = k\vec{BP}$となる実数kが存在することを示す。

$\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} = k(\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b})$

$\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} = \frac{k}{3}\vec{a} + \frac{2k}{3}\vec{b}$

係数を比較して、

$\frac{1}{2} = \frac{k}{3}$ かつ $1 = \frac{2k}{3}$

両方の式から、$k = \frac{3}{2}$が得られる。

したがって、$\vec{BQ} = \frac{3}{2}\vec{BP}$となるので、$\vec{BQ} = \frac{3}{2}\vec{BP}$より3点B, P, Qは一直線上にある。

(2) $\vec{BQ} = \frac{3}{2}\vec{BP}$より、$BQ = \frac{3}{2}BP$

$BQ = BP + PQ$ なので、$BP + PQ = \frac{3}{2}BP$

$PQ = \frac{3}{2}BP - BP = \frac{1}{2}BP$

$BP = 2PQ$

したがって、$BP : PQ = 2:1$

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3. 最終的な答え

(1) 3点B, P, Qは一直線上にある。（証明終わり）

(2) BP : PQ = 2 : 1