$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ の中点を $M$、辺 $OB$ を $2:3$ に内分する点を $N$ とする。2直線 $AN$、 $BM$ の交点を $P$ とするとき、$\overrightarrow{OP} = \vec{p}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表せ。ただし、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ である。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ の中点を $M$、辺 $OB$ を $2:3$ に内分する点を $N$ とする。2直線 $AN$、 $BM$ の交点を $P$ とするとき、$\overrightarrow{OP} = \vec{p}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表せ。ただし、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ である。

2. 解き方の手順

まず、$P$ が直線 $AN$ 上にあることから、実数 $s$ を用いて $\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{ON}$ と表せる。

$\overrightarrow{ON} = \frac{2}{5}\overrightarrow{OB}$ であるから、

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\vec{a} + s(\frac{2}{5}\vec{b}) = (1-s)\vec{a} + \frac{2s}{5}\vec{b}$ ... (1)

次に、$P$ が直線 $BM$ 上にあることから、実数 $t$ を用いて $\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OM}$ と表せる。

$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$ であるから、

$\overrightarrow{OP} = (1-t)\vec{b} + t(\frac{1}{2}\vec{a}) = \frac{t}{2}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$ ... (2)

(1)と(2)を比較して、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、

$1-s = \frac{t}{2}$ かつ $\frac{2s}{5} = 1-t$

これを解く。

$t = 2-2s$ を $\frac{2s}{5} = 1-t$ に代入すると

$\frac{2s}{5} = 1 - (2-2s) = -1+2s$

$\frac{2s}{5} - 2s = -1$

$2s - 10s = -5$

$-8s = -5$

$s = \frac{5}{8}$

$t = 2 - 2(\frac{5}{8}) = 2 - \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$

(1)に $s = \frac{5}{8}$ を代入すると

$\overrightarrow{OP} = (1-\frac{5}{8})\vec{a} + \frac{2}{5}(\frac{5}{8})\vec{b} = \frac{3}{8}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{8}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$