平行四辺形ABCDにおいて、辺BCを3等分する点のうちCに近い点をEとする。直線AEと直線BDの交点をFとするとき、AF:AEを求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺BCを3等分する点のうちCに近い点をEとする。直線AEと直線BDの交点をFとするとき、AF:AEを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$と定める。

点Eは辺BCを3等分する点のうちCに近い点なので、$\vec{BE} = \frac{2}{3}\vec{BC} = \frac{2}{3}\vec{AD} = \frac{2}{3}\vec{d}$である。

したがって、$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE} = \vec{b} + \frac{2}{3}\vec{d}$ と表せる。

次に、点Fは直線BD上にあるので、$t$を実数として $\vec{AF} = (1-s)\vec{AB} + s\vec{AD}$と表せる。 また、点Fは直線AE上にあるので、$k$を実数として $\vec{AF} = k\vec{AE}$と表せる。

したがって、

$\vec{AF} = (1-s)\vec{b} + s\vec{d} = k\vec{AE} = k(\vec{b} + \frac{2}{3}\vec{d}) = k\vec{b} + \frac{2}{3}k\vec{d}$

$\vec{b}$と$\vec{d}$は一次独立なので、$1-s = k$, $s = \frac{2}{3}k$ が成り立つ。

$1 - s = k$に、$s = \frac{2}{3}k$を代入すると、$1 - \frac{2}{3}k = k$となり、$1 = \frac{5}{3}k$より、$k = \frac{3}{5}$である。

$\vec{AF} = \frac{3}{5}\vec{AE}$ より、$AF:AE = 3:5$となる。

3. 最終的な答え

AF:AE = 3:5