$\triangle OAB$ において、線分 $OA$ の中点を $P$ とし、線分 $OB$ を $2:1$ に内分する点を $Q$ とする。線分 $AQ$ と線分 $BP$ の交点を $R$ とするとき、$\overrightarrow{OR}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ で表す問題です。具体的には、$\overrightarrow{OR} = a \overrightarrow{OA} + b \overrightarrow{OB}$ の $a$ と $b$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、線分 $OA$ の中点を $P$ とし、線分 $OB$ を $2:1$ に内分する点を $Q$ とする。線分 $AQ$ と線分 $BP$ の交点を $R$ とするとき、$\overrightarrow{OR}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ で表す問題です。具体的には、$\overrightarrow{OR} = a \overrightarrow{OA} + b \overrightarrow{OB}$ の $a$ と $b$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、点 $R$ が線分 $AQ$ 上にあることから、実数 $s$ を用いて、

$\overrightarrow{OR} = (1-s) \overrightarrow{OA} + s \overrightarrow{OQ}$

と表せる。

$Q$ は $OB$ を $2:1$ に内分する点なので、

$\overrightarrow{OQ} = \frac{2}{3} \overrightarrow{OB}$

したがって、

$\overrightarrow{OR} = (1-s) \overrightarrow{OA} + s \frac{2}{3} \overrightarrow{OB} = (1-s) \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}s \overrightarrow{OB}$ ...(1)

次に、点 $R$ が線分 $BP$ 上にあることから、実数 $t$ を用いて、

$\overrightarrow{OR} = (1-t) \overrightarrow{OB} + t \overrightarrow{OP}$

と表せる。

$P$ は $OA$ の中点なので、

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA}$

したがって、

$\overrightarrow{OR} = (1-t) \overrightarrow{OB} + t \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}t \overrightarrow{OA} + (1-t) \overrightarrow{OB}$ ...(2)

$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ は一次独立なので、(1)と(2)の係数を比較して、

$1-s = \frac{1}{2}t$ ...(3)

$\frac{2}{3}s = 1-t$ ...(4)

(4)より $t = 1 - \frac{2}{3}s$

これを(3)に代入して $1-s = \frac{1}{2}(1 - \frac{2}{3}s) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}s$

よって、 $\frac{2}{3}s = \frac{1}{2}$

$s = \frac{3}{4}$

これを(4)に代入して $t = 1 - \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

これを(1)に代入して

$\overrightarrow{OR} = (1-\frac{3}{4})\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \overrightarrow{OB} = \frac{1}{4} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OB}$

または(2)に代入して

$\overrightarrow{OR} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + (1 - \frac{1}{2}) \overrightarrow{OB} = \frac{1}{4} \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2} \overrightarrow{OB}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OR} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$